【完全図解】二元配置実験の計算方法｜交互作用の「なぜ」まで手を動かして理解する

💡 こんな悩みはありませんか？

✅「二元配置実験の計算、どこから手をつければいいの？」

✅「交互作用の平方和って、なぜあんな計算式になるの？」

✅「分散分析表の数字が何を意味しているのか、イメージできない…」

🎯 この記事を読むとわかること

✔ 二元配置実験の計算を「0から完成まで」手を動かして学べる

✔ 交互作用の計算式の「なぜ」が直感的に理解できる

✔ 分散分析表の各項目（因子A・因子B・交互作用・誤差）を自分で計算できる

✔ F検定で「どの効果が有意か」を判定する方法

【具体例】製品の強度を高めたい

🌡️ 因子A：加熱温度（低温/高温）

⏱️ 因子B：加熱時間（短時間/長時間）

❓ 疑問：「温度と時間の組み合わせで、ベストな条件は？」「温度と時間に相性（交互作用）はある？」

🧪 実験内容

目的：製品の引張強度を最大化する条件を見つける

因子A：温度（A1=低温、A2=高温）

因子B：時間（B1=短時間、B2=長時間）

繰り返し：各条件で2回測定（繰り返し数 r = 2）

📊 データの読み方

🔹 セル（A1, B1）：低温×短時間の組み合わせ → 45, 47（平均46.0）

🔹 セル（A1, B2）：低温×長時間の組み合わせ → 52, 54（平均53.0）

🔹 総データ数：N = 2水準 × 2水準 × 2回 = 8

📐 平方和の分解式

ST = SA + SB + SA×B + Se

🔹 SA：因子A（温度）の効果

🔹 SB：因子B（時間）の効果

🔹 SA×B：交互作用（温度と時間の相性）

🔹 Se：誤差（偶然のばらつき）

📐 修正項の計算式

CT = T² / N

🔢 計算

総和（T）= 386、データ数（N）= 8

CT = 386² / 8 = 148,996 / 8

CT = 18,624.5

📐 総平方和の計算式

ST = Σ(各データ²) - CT

🔢 計算

45² + 47² + 52² + 54² + 50² + 48² + 46² + 44² = 18,710

ST = 18,710 - 18,624.5

ST = 85.5

📐 因子Aの平方和の計算式

SA = Σ(各A水準の合計² / その水準のデータ数) - CT

💡 ポイント：A1とA2の「行合計」を使います

🔢 計算

A1（低温）の行合計：198（データ数4個）

A2（高温）の行合計：188（データ数4個）

SA = (198² / 4) + (188² / 4) - CT

SA = (39,204 / 4) + (35,344 / 4) - 18,624.5

SA = 9,801 + 8,836 - 18,624.5

SA = 18,637 - 18,624.5

SA = 12.5

📐 因子Bの平方和の計算式

SB = Σ(各B水準の合計² / その水準のデータ数) - CT

💡 ポイント：B1とB2の「列合計」を使います

🔢 計算

B1（短時間）の列合計：190（データ数4個）

B2（長時間）の列合計：196（データ数4個）

SB = (190² / 4) + (196² / 4) - CT

SB = (36,100 / 4) + (38,416 / 4) - 18,624.5

SB = 9,025 + 9,604 - 18,624.5

SB = 18,629 - 18,624.5

SB = 4.5

🔥 交互作用の具体例

もし交互作用がなければ：

・低温で+5の効果、長時間で+7の効果

・低温×長時間なら +5+7=+12 のはず

しかし実際には：

・低温×長時間で +15 の効果（+3の追加効果！）

→ この「+3」が交互作用です

📐 交互作用の平方和の計算式

SA×B = SAB - SA - SB

まずSAB（セルの平方和）を計算します：

SAB = Σ(各セルの合計² / 繰り返し数) - CT

💡 なぜこの式で交互作用が求まるのか？

【考え方】

1. SAB：全ての組み合わせ効果（A+B+交互作用）

2. SA：Aの単独効果

3. SB：Bの単独効果

SABから「SA」と「SB」を引けば、「組み合わせによる追加効果」だけが残るのです！

📊 各セル（組み合わせ）の合計

セル（A1, B1）：92（繰り返し2回）

セル（A1, B2）：106（繰り返し2回）

セル（A2, B1）：98（繰り返し2回）

セル（A2, B2）：90（繰り返し2回）

🔢 SABの計算

SAB = (92² / 2) + (106² / 2) + (98² / 2) + (90² / 2) - CT

SAB = (8,464 / 2) + (11,236 / 2) + (9,604 / 2) + (8,100 / 2) - 18,624.5

SAB = 4,232 + 5,618 + 4,802 + 4,050 - 18,624.5

SAB = 18,702 - 18,624.5

SAB = 77.5

🔢 交互作用の計算

SA×B = SAB - SA - SB

SA×B = 77.5 - 12.5 - 4.5

SA×B = 60.5

🔥 この結果の意味

交互作用の平方和（60.5）が非常に大きい！

→ 温度と時間の「組み合わせ効果」が強いことを示しています。

→ 「温度だけ」「時間だけ」で考えるのではなく、「どの組み合わせが最適か」を見極める必要があります。

📐 誤差の平方和の計算式

Se = ST - SA - SB - SA×B

（引き算で簡単に求まります！）

🔢 誤差の計算

Se = ST - SA - SB - SA×B

Se = 85.5 - 12.5 - 4.5 - 60.5

Se = 8.0

📐 自由度の計算式

総自由度：φT = N - 1 = 8 - 1 = 7

因子Aの自由度：φA = a - 1 = 2 - 1 = 1

因子Bの自由度：φB = b - 1 = 2 - 1 = 1

交互作用の自由度：φA×B = (a-1) × (b-1) = 1 × 1 = 1

誤差の自由度：φe = ab(r-1) = 2×2×(2-1) = 4

✅ 確認

φT = φA + φB + φA×B + φe

7 = 1 + 1 + 1 + 4 ✅ 正しい！

📐 平均平方の計算式

V = S / φ（平方和 ÷ 自由度）

🔢 各平均平方の計算

VA：12.5 / 1 = 12.5

VB：4.5 / 1 = 4.5

VA×B：60.5 / 1 = 60.5

Ve：8.0 / 4 = 2.0

📐 F値の計算式

F = V（要因） / Ve（誤差）

🔢 各F値の計算

FA：12.5 / 2.0 = 6.25

FB：4.5 / 2.0 = 2.25

FA×B：60.5 / 2.0 = 30.25

🎉 分散分析表が完成しました！

次は、このF値を使って「統計的に有意かどうか」を判定します。

✅ 判定結果

❌ 因子A（温度）：単独では有意でない（6.25 < 7.71）

❌ 因子B（時間）：単独では有意でない（2.25 < 7.71）

✅ 交互作用（A×B）：有意差あり！（30.25 > 7.71）

🔥 この結果が意味すること

✅ 温度だけで強度を高めることはできない

✅ 時間だけで強度を高めることもできない

✅ しかし「温度と時間の組み合わせ」が重要！

→ 最適な組み合わせを見つけることが鍵です

✅ 結論

最適条件：低温×長時間（平均強度53.0）

この組み合わせで製品の引張強度を最大化できます。

✅ この記事のポイント

🔹 二元配置実験では、2つの因子とその交互作用を同時に分析できる

🔹 交互作用の計算は「SAB - SA - SB」で、組み合わせの追加効果を表す

🔹 交互作用が有意なら、因子の組み合わせを重視すべき

🔹 F検定で各効果の統計的有意性を判定できる

🎓 さらに学びを深めるには

📌 二元配置実験とは？で概念を復習

📌 交互作用とは？グラフが交差する本当の意味で視覚的に理解

📌 一元配置実験の計算方法で基礎を固める

📌 分散分析表の作り方完全ガイドで理論を深める

📌 実験計画法の学習マップで体系的に学習

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二元配置実験の計算をマスターした次は、「さらに多くの因子を効率的に調べる方法」を学びましょう。

👉 次の記事：直交配列表とは？実験回数を劇的に削減する方法

🔹 直交配列表を理解すると、3つ以上の因子でも少ない試行回数で実験できるようになります！