【実験計画法】乱塊法の「その後」を完全攻略｜最適水準・信頼区間・ブロック分散の求め方

• 乱塊法の分散分析表は作れるけど、その後の計算がわからない
• 通常の二元配置実験と何が違うの？ブロック因子ってどう扱えばいい？
• 「差の点推定値」「差の信頼区間」って何？なぜ「差」を使うの？
• ブロック因子の母分散σ²ᵣの求め方が意味不明…
• E(Vᵣ)の式が出てきたけど、なぜこの形になるのかわからない

• 乱塊法と通常の二元配置実験の「決定的な違い」
• ブロック因子がある場合の最適水準の選び方
• なぜ「差」の推定を行うのか、その理由と計算方法
• ブロック因子の母分散σ²ᵣを推定する公式の意味と導出

この記事は「分散分析表の作り方」「F検定」を理解している方向けです：

因子A：温度（A₁=100℃、A₂=120℃）← 調べたい因子
因子B：時間（B₁=10分、B₂=20分、B₃=30分）← 調べたい因子

→ AもBも「どの水準が最適か知りたい」因子

因子A：温度（A₁=100℃、A₂=120℃）← 調べたい因子
因子B：時間（B₁=10分、B₂=20分、B₃=30分）← 調べたい因子
因子R（ブロック因子）：実験日（R₁=1日目、R₂=2日目）← 調べたくないけど影響がある因子

→ Rは「環境ノイズを吸収するため」に入れた因子。最適水準を選ぶ対象ではない！

あなたはパンケーキの最適なレシピを調べる実験をしています。

• 因子A（調べたい）：砂糖の量（A₁=少なめ、A₂=多め）
• 因子B（調べたい）：焼き時間（B₁=2分、B₂=3分、B₃=4分）

しかし、1日で全ての実験ができないので、2日間に分けて実験することになりました。

問題：1日目と2日目で「室温」「湿度」「フライパンの状態」などが微妙に違う可能性がある！

解決策：「実験日」をブロック因子Rとして分析に組み込む。こうすることで、日によるばらつきを「誤差」から分離できる。

ブロック因子は「興味はないけど、影響がある因子」です。

• 「R₁（1日目）とR₂（2日目）のどちらが良いか」には興味がない
• でも、日によるばらつきが結果に影響するのは事実
• だから、その影響を分離して取り除くためにブロック因子として扱う

製品の強度を調べる実験を行った。

• 因子A（材料）：2水準（A₁、A₂）
• 因子B（加工法）：3水準（B₁、B₂、B₃）
• 因子R（ブロック：実験日）：2水準（R₁=1日目、R₂=2日目）
• 目的：強度を最大にしたい（望大特性）
• 現行条件：A₁B₁

1日に最大6回しか実験できないため、2日間に分けて計12回の実験を行った。

• ブロック因子R（日間変動）：有意 → 日によるばらつきがある
• 因子A（材料）：有意
• 因子B（加工法）：有意
• 交互作用A×B：有意 → AとBは組み合わせで考える必要あり

最適水準は「A₂B₃」

※ブロック因子R（実験日）については言及しない

ブロック因子は「制御できない環境要因」だからです。

「R₂（2日目）の方が結果が良かったから、今後はR₂で実験しよう」とは言えませんよね。将来の実験がどんな日（天気、湿度、作業者の調子など）に行われるかは、事前にコントロールできません。

だから、AとBの組み合わせだけを最適化し、Rの影響は「平均的に」考えるのです。

A₂B₃のデータは「R₁での35」と「R₂での40」の2つ。

→ この5の差には、「A₂B₃の真の効果」＋「日によるばらつき（R効果）」が混ざっている

→ 信頼区間を計算すると、Rの効果の分だけ幅が広くなってしまう

R₁（1日目）での差：
A₂B₃の値 − A₁B₁の値 = 35 − 18 = 17

R₂（2日目）での差：
A₂B₃の値 − A₁B₁の値 = 40 − 22 = 18

→ どちらの日でも、差はほぼ同じ（17〜18）になっている！

R₁（1日目）はすべての実験に「+0」の影響を与え、
R₂（2日目）はすべての実験に「+4」の影響を与えたとします（分散分析でRが有意だったので）。

R₁での差：
(A₂B₃の真の値 + 0) − (A₁B₁の真の値 + 0) = A₂B₃の真の値 − A₁B₁の真の値

R₂での差：
(A₂B₃の真の値 + 4) − (A₁B₁の真の値 + 4) = A₂B₃の真の値 − A₁B₁の真の値

→ どちらも同じ！Rの効果（+0や+4）が相殺されて消えるのです。

x̄₂₃.：A₂B₃のデータの平均（Rは全水準をまとめて平均）
x̄₁₁.：A₁B₁のデータの平均（Rは全水準をまとめて平均）

Step 1：各組み合わせの平均を求める

A₂B₃の合計 = 75（計算補助表より）
A₂B₃のデータ数 = 2（R₁とR₂の2回）
x̄₂₃. = 75 / 2 = 37.5

A₁B₁の合計 = 40（計算補助表より）
A₁B₁のデータ数 = 2（R₁とR₂の2回）
x̄₁₁. = 40 / 2 = 20.0

Step 2：差を計算する

差の点推定値 = x̄₂₃. − x̄₁₁. = 37.5 − 20.0 = 17.5

最適水準A₂B₃は、現行条件A₁B₁よりも強度が平均17.5高くなると推定されます。

この計算ではブロック因子Rの効果を使っていません。

A₂B₃の平均もA₁B₁の平均も、R₁とR₂の両方のデータを含んでいるので、差を取ると自然にRの効果が相殺されます。

V_E：誤差分散（分散分析表から）
r：ブロック因子Rの水準数
φ_E：誤差の自由度
t(φ_E, 0.05)：t分布の上側2.5%点

V(x̄₂₃. − x̄₁₁.) = V(x̄₂₃.) + V(x̄₁₁.)

V(x̄₂₃.) = V_E / r
V(x̄₁₁.) = V_E / r

V(x̄₂₃. − x̄₁₁.) = V_E/r + V_E/r = 2V_E/r

2V_E/rの「2」は、2つの平均の差を取っているから。
r（ブロック数）で割るのは、各平均がr個のデータから計算されているから。

• 差の点推定値：17.5
• 誤差分散 V_E = 2.0（分散分析表から）
• 誤差の自由度 φ_E = 5
• ブロック因子Rの水準数 r = 2
• t(5, 0.05) = 2.571

Step 1：差の標準誤差を計算

Step 2：信頼区間の幅を計算

Step 3：95%信頼区間を計算

最適水準A₂B₃と現行条件A₁B₁の強度の差は、95%の信頼度で
13.86 ≦ μ(A₂B₃) − μ(A₁B₁) ≦ 21.14
の範囲にあると推定されます。

信頼下限は13.86（信頼下限 = 点推定値 − 幅 = 17.5 − 3.64）

信頼下限が正（13.86 > 0）なので、「A₂B₃がA₁B₁より確実に良い」と言えます。

もし信頼区間が0をまたいでいたら（例：−2 〜 +15）、「本当に良いかどうかは断言できない」となります。

V_R：ブロック因子Rの分散（分散分析表から）
V_E：誤差分散（分散分析表から）
a：因子Aの水準数
b：因子Bの水準数

誤差分散の期待値：

E(V_E) = σ²_E

ブロック因子Rの分散の期待値：

E(V_R) = σ²_E + (a × b) × σ²_R

ブロック因子R（例：1日目 vs 2日目）の各水準には、a × b 個のデータが含まれています。

この例では：
・R₁（1日目）のデータ：A₁B₁, A₁B₂, A₁B₃, A₂B₁, A₂B₂, A₂B₃ → 6個（= 2 × 3）
・R₂（2日目）のデータ：A₁B₁, A₁B₂, A₁B₃, A₂B₁, A₂B₂, A₂B₃ → 6個（= 2 × 3）

R₁とR₂の「差」を計算するとき、この6個分のデータが使われます。
つまり、Rの効果は「6倍に増幅されて」V_Rに含まれているのです。

だから、σ²_Rを取り出すには「a × b = 6」で割る必要があります。

E(V_R) = σ²_E + (a × b) × σ²_R より：

(a × b) × σ²_R = E(V_R) − σ²_E

σ²_R = {E(V_R) − σ²_E} / (a × b)

実際の推定では、E(V)の代わりにVを使うので：

σ̂²_R = (V_R − V_E) / (a × b)

• V_R = 48.0（分散分析表から）
• V_E = 2.0（分散分析表から）
• 因子Aの水準数 a = 2
• 因子Bの水準数 b = 3

計算：

日間変動（ブロック因子R）の母分散は約7.67と推定されます。

これは「日によって、平均的に±√7.67 ≒ ±2.8程度のばらつきがある」ことを意味します。

この値が大きいほど、「日によるばらつきが大きい」ことを意味します。

もしσ̂²_Rが誤差分散V_Eより大きければ、「日による影響を減らす対策」を検討する価値があります（例：空調管理、原料ロット管理など）。

乱塊法の公式一覧

覚えておくべきポイント

• ブロック因子は最適水準の選択に使わない
• 「差」を取るとブロック効果が相殺される
• 差の分散の「2」は、2つの平均の差を取るから
• σ̂²_Rの「a × b」は、各ブロックに含まれるデータ数

📚 次に読むべき記事

乱塊法では、ブロック因子（日間変動など）を「興味のない環境要因」として扱います。最適水準の選択ではブロック因子を無視し、推定では「差」を取ることでブロック効果を相殺するのがポイントです。公式を丸暗記するのではなく、「なぜそうするのか」を理解することで、応用問題にも対応できるようになります。