F分布のイメージ｜なぜ分散は「引き算」ではなく「割り算」で比べるのか？

こんにちは、シラスです。

前回、2つの機械のバラつきを比較する「F検定」を行いました。
その計算式は、とてもシンプルな「割り算」でした。

$$ F = \frac{V_A}{V_B} $$

しかし、ここで一つの疑問が浮かびます。

🤔 なぜ引き算じゃない？

「平均値の比較（t検定）」では、差を見るために引き算 $(A - B)$ をしました。

「バラつきの比較」だって、差を知りたいなら引き算 $(V_A - V_B)$ で良さそうな気がしませんか？
なぜわざわざ「比率（倍率）」を見るのでしょうか？

実は、ここには統計学が「割り算」を選ばざるを得なかった、2つの決定的な理由があるのです。

理由1：単位の呪縛から逃げるため（スケーリング）

最大の理由は、「単位の影響を受けなくするため」です。

例えば、ある部品の長さのバラつき（分散）を比較するとします。

ここで「引き算」をしてしまうと、単位によって「差の大きさ」が変わってしまいます。

📏 単位を変えてみると…

ミリメートル ($mm^2$) で測った場合：
差 = $100 - 25 = \mathbf{75}$

センチメートル ($cm^2$) で測った場合：
分散は $1/100$ になるので、差 = $1 - 0.25 = \mathbf{0.75}$

同じ機械の性能を比べているのに、測る定規を変えただけで、差が「75」になったり「0.75」になったりするのは不便ですよね。
「75」という数字だけ見ても、それが大きいのか小さいのか判断できません。

一方、「割り算」ならどうでしょう？

ご覧の通り、単位が何であっても結果は「4倍」で変わりません。
割り算をすることで、分子と分母の単位が約分されて消え、純粋な「強さの比率」だけが残るのです。

だからF検定では、「差がいくらか？」ではなく「何倍違うか？」という土俵で勝負をするのです。

もう一つの理由は、分散の性質に関わります。
分散（二乗の世界）には「マイナスが存在しない」という鉄則がありましたね。

統計学において、確率分布（グラフ）を作る際、マイナス側に突き抜けてしまう数値は扱いづらいのです。
割り算にしておけば、最小値は「0（分子が0の時）」で止まり、扱いやすくなります。

こうして生まれた「分散比（F値）」の分布図がこちらです。

[Image of F distribution probability density function curve]

スタート地点は「0」：
マイナスにはなりません。
山頂は「1」付近：
もし2つのバラつきが同じなら、$A \div B = 1$ になるはずです。
だから、F分布は「1」の周りにデータが集中する形になります。
右に伸びる裾野：
もし $A$ が $B$ より異常に大きければ、F値は 10倍、100倍…と青天井に大きくなります。

F検定とは、計算したF値が「1（対等）の周辺にあるか？」それとも「右端のレアゾーン（有意水準）まで飛んでいってしまったか？」を確認する作業なのです。

✅ 割り算にする理由①：
単位（mmやcm）の影響を消して、純粋な「倍率」で比較するため。

✅ 割り算にする理由②：
分散にマイナスはないので、比率（0以上）で扱ったほうが都合が良いから。

「平均値は引き算、分散は割り算」
この違いは、単なる計算ルールの違いではなく、「単位に依存するかどうか（スケールフリー）」という深い意味があったのです。

さて、ここまでは「検定（白黒つける）」話をしてきました。
次回は視点を変えて、「じゃあ、具体的なバラつきの値はいくつなの？」と予測する、「母分散の区間推定」について解説します。