二元配置実験の分散分析実践

はじめに

一元配置実験では、「1つの因子」だけを調べました。
しかし実際の現場では、複数の因子が同時に結果に影響することが多いです。

そこで登場するのが、
二元配置実験（にげんはいちじっけん）です！

この記事では、
カレーの味評価をテーマに、
主効果＋交互作用を含む分散分析の具体的な計算を解説していきます！

1. 二元配置実験とは？

定義

二元配置実験とは、2つの因子（例えば肉の種類とスパイス量）を同時に変えたとき、結果にどう影響するかを調べる実験。

二元配置実験では、

• 因子A（肉の種類）

• 因子B（スパイス量）

という2つの因子の
主効果（単独の影響）
と
交互作用（組み合わせによる特別な影響）
の両方を評価できます。

2. 実験データ（カレーの味評価例）

今回は次のデータを使います。

（各条件で2回ずつ繰り返し）

3. 分散分析の流れ

二元配置実験では次の手順で進めます。

1. 総平均を求める

2. 総平方和

   $S_T$を求める

3. 因子Aの平方和

   $S_A$を求める

4. 因子Bの平方和

   $S_B$を求める

5. 交互作用平方和

   $S_{AB}$ を求める

6. 誤差平方和

   $S_E$を求める

7. 各分散

   $V_A,V_B,V_{AB},V_E$を求める

8. 各因子・交互作用のF値を求める

4. 総平均を求める

すべてのデータの平均を求めます。

$$\text{総平均}=\frac{80+82+90+91+78+79+84+85}{8}$$

計算すると、

$$\text{総平均}=\frac{669}{8}=83.625$$

5. 総平方和 $S_T$を求める

総平方和は、各データと総平均との差を2乗して合計します。

$$S_T=\sum (\text{各データ}-\text{総平均}{)}^2$$

個別に計算します。

$(80-83.625{)}^2=13.140625$

$(82-83.625{)}^2=2.640625$

$(90-83.625{)}^2=40.140625$

$(91-83.625{)}^2=54.140625$

$(78-83.625{)}^2=31.640625$

$(79-83.625{)}^2=21.140625$

$(84-83.625{)}^2=0.140625$

$(85-83.625{)}^2=1.890625$

合計すると、

$$S_T=13.140625+2.640625+40.140625+54.140625+31.640625+21.140625+0.140625+1.890625=164.875$$

6. 水準平均を求める

肉の種類（水準A）

スパイス量（水準B）

7. 因子A（肉の種類）の平方和 $S_A$

水準Aごとの平均と総平均との差から求めます。

$$S_A=4\times ((85.75-83.625{)}^2+(81.5-83.625{)}^2)$$

計算すると、

$(85.75-83.625{)}^2=4.515625$

$(81.5-83.625{)}^2=4.515625$

だから、

$$S_A=4\times (4.515625+4.515625)=4\times 9.03125=36.125$$

8. 因子B（スパイス量）の平方和 $S_B$

水準Bごとの平均と総平均との差から求めます。

$$S_B=4\times ((79.75-83.625{)}^2+(87.5-83.625{)}^2)$$

計算すると、

• $(79.75-83.625{)}^2=15.015625$ 

• $(87.5-83.625{)}^2=15.015625$ 

だから、

$$S_B=4\times (15.015625+15.015625)=4\times 30.03125=120.125$$

9. 交互作用平方和 $S_{AB}$

交互作用平方和は、

$$S_{AB}=S_T-S_A-S_B-S_E$$

ですが、ここでは後でまとめて誤差平方和とあわせて求めます。

10. 誤差平方和 $S_E$

各条件の個別データと対応するセル平均との差を2乗して合計します

11. 各セル（組合せ）の平均を求める

それぞれの「肉の種類 × スパイス量」ごとに、セル平均を求めます。

12. 各データとセル平均との差を2乗する

各データについて、「データ - セル平均」を2乗し、全部足し合わせます。これが誤差平方和

$S_E$になります。

• (80-81.0)² = 1.0

• (82-81.0)² = 1.0

• (90-90.5)² = 0.25

• (91-90.5)² = 0.25

• (78-78.5)² = 0.25

• (79-78.5)² = 0.25

• (84-84.5)² = 0.25

• (85-84.5)² = 0.25

合計すると、

$$S_E=1.0+1.0+0.25+0.25+0.25+0.25+0.25+0.25=3.5$$

13. 交互作用平方和 $S_{AB}$を求める

交互作用平方和は、
残り成分として求めます。

$$S_{AB}=S_T-S_A-S_B-S_E$$

SAB​=ST​−SA​−SB​−SE​

ここまでの値は、

• $S_T=164.875$ 

• $S_A=36.125$ 

• $S_B=120.125$ 

• $S_E=3.5$ 

代入して計算すると、

$$S_{AB}=164.875-36.125-120.125-3.5=5.125$$

14. 自由度の計算

15. 各分散（平均平方）を求める

因子A（肉の種類）の分散：

$$V_A=\frac{S_A}{1}=36.125$$

因子B（スパイス量）の分散：

$$V_B=\frac{S_B}{1}=120.125$$

交互作用（A×B）の分散：

$$V_{AB}=\frac{S_{AB}}{1}=5.125$$

誤差の分散：

$$V_E=\frac{S_E}{4}=0.875$$

16. F検定値を求める

因子A（肉の種類）のF値：

$$F_A=\frac{V_A}{V_E}=\frac{36.125}{0.875}=41.3$$

因子B（スパイス量）のF値：

$$F_B=\frac{V_B}{V_E}=\frac{120.125}{0.875}=137.3$$

交互作用（A×B）のF値：

$$F_{AB}=\frac{V_{AB}}{V_E}=\frac{5.125}{0.875}=5.857$$

まとめ

今回の二元配置実験では、

• 総平方和

  $S_T=164.875$ 

• 因子Aの平方和

  $S_A=36.125$ 

• 因子Bの平方和

  $S_B=120.125$ 

• 交互作用の平方和

  $S_{AB}=5.125$ 

• 誤差平方和

  $S_E=3.5$ 

分散はそれぞれ、

• $V_A=36.125$ 

• $V_B=120.125$ 

• $V_{AB}=5.125$ 

• $V_E=0.875$ 

F値は、

• $F_A=41.3$ 

• $F_B=137.3$ 

• $F_{AB}=5.857$ 

となりました！

F値が大きいので、

• 肉の種類（因子A）

• スパイス量（因子B）

• そして肉とスパイスの組合せ（交互作用）

すべてが結果に有意な影響を与えている
と考えられます！

次の記事

次の記事では、
直行配列表について説明していきます！