目次
はじめに
「宝くじで初めて当たるまで何回買う必要があるか？」「就職活動で初めて合格をもらうまで何社受験するか？」「機械が初めて故障するまで何回使用できるか？」...これらはすべて「初回成功までの試行回数」を扱う問題です。
このような状況を数学的にモデル化したものが「幾何分布」です。名前の由来は、確率が幾何級数（等比数列）の形で表現されることにあります。幾何分布は「無記憶性」という興味深い性質を持ち、信頼性工学や待ち時間分析で重要な役割を果たしています。
今日は、幾何分布の基本的な性質から実際の応用例、そして連続版である指数分布との関係まで、具体例を交えながら詳しく学んでいきましょう。
幾何分布の定義と無記憶性
幾何分布が適用される条件
幾何分布は、以下の条件を満たす状況に適用できます：
1. 各試行は独立
例：毎回の宝くじ購入は独立
→ 前回の結果は次回の結果に影響しない
2. 各試行の結果は成功か失敗の2種類
例：合格/不合格、当選/落選、正常/故障
3. 成功確率は一定（p）
例：どの試行でも成功確率は同じp
4. 初回成功までの試行回数を数える
例：3回目で初めて成功 → X = 3
幾何分布の定義
幾何分布は、成功確率pの試行を繰り返して、ちょうどk回目で初めて成功する確率を表す分布です。
確率質量関数
P(X = k) = (1-p)^(k-1) × p
X：初回成功までの試行回数
p：1回の試行での成功確率
k：試行回数（1, 2, 3, ...）
累積分布関数
P(X ≤ k) = 1 - (1-p)^k
P(X > k) = (1-p)^k
無記憶性の理解
幾何分布の最も興味深い性質は「無記憶性」です。これは、過去の失敗が将来の成功確率に影響しないという性質です。
無記憶性の公式
P(X > s + t | X > s) = P(X > t)
解釈：「s回失敗した後、さらにt回以上かかる確率」
= 「最初からt回以上かかる確率」
身近な例での理解
宝くじの例（成功確率p = 0.01）：
「10回外れた後、さらに5回以上かかる確率」
= 「最初から5回以上かかる確率」
P(X > 15 | X > 10) = P(X > 5) = (0.99)^5 ≈ 0.951
→ 過去の失敗は将来に影響しない！
期待値と分散の計算
期待値の導出
幾何分布の期待値
E(X) = 1/p
直感的理解：
成功確率がpなら、平均して1/p回の試行で成功
厳密な導出（概要）
E(X) = Σ(k=1 to ∞) k × (1-p)^(k-1) × p
= p × Σ(k=1 to ∞) k × (1-p)^(k-1)
= p × 1/p² = 1/p （無限級数の計算により）
分散の導出
幾何分布の分散
Var(X) = (1-p)/p²
標準偏差：SD(X) = √[(1-p)/p²] = √(1-p)/p
具体例での確認
例：就職活動（合格確率20%）
p = 0.2
期待値：E(X) = 1/0.2 = 5回
→ 平均5社受験すれば1社合格
分散：Var(X) = 0.8/(0.2)² = 0.8/0.04 = 20
標準偏差：SD(X) = √20 ≈ 4.47回
解釈：5±4.47回、つまり1～10回程度の範囲でばらつく
身近な幾何分布の例
例1：資格試験の合格
設定
ある資格試験の合格率：30%
初回合格までの受験回数をXとする
X ~ Geo(0.3)
基本統計量
期待値：E(X) = 1/0.3 ≈ 3.33回
分散：Var(X) = 0.7/(0.3)² ≈ 7.78
標準偏差：SD(X) ≈ 2.79回
具体的な確率計算
1回で合格する確率：
P(X = 1) = 0.3 = 30%
2回で合格する確率：
P(X = 2) = 0.7 × 0.3 = 21%
3回で合格する確率：
P(X = 3) = (0.7)² × 0.3 = 14.7%
5回以内に合格する確率：
P(X ≤ 5) = 1 - (0.7)⁵ ≈ 1 - 0.168 = 83.2%
学習計画への応用
「5回以内に必ず合格したい」場合：
成功確率83.2%では不安
90%の確率で5回以内に合格するには：
P(X ≤ 5) = 1 - (1-p)⁵ = 0.9
(1-p)⁵ = 0.1
1-p = (0.1)^(1/5) ≈ 0.631
p ≈ 0.369
→ 合格率を37%まで上げる必要がある
例2：機械の故障分析
設定
製造機械の1日あたりの故障確率：2%
初回故障までの日数をXとする
X ~ Geo(0.02)
保守計画の策定
期待値：E(X) = 1/0.02 = 50日
→ 平均50日で故障
90%の確率で故障する日数：
P(X ≤ k) = 1 - (0.98)^k = 0.9
(0.98)^k = 0.1
k × ln(0.98) = ln(0.1)
k = ln(0.1) / ln(0.98) ≈ 115日
→ 100日程度で予防保守を実施
無記憶性の実践的意味
「30日間故障しなかった機械」でも、
明日故障する確率は依然として2%
→ 機械は「疲労しない」モデル
→ 実際の機械では疲労累積があるため注意が必要
例3：コールセンターでの初回応答
設定
コールセンターでの1回あたりの接続確率：40%
初回接続までのコール回数をXとする
X ~ Geo(0.4)
顧客満足度の分析
期待値：E(X) = 1/0.4 = 2.5回
→ 平均2～3回で接続
3回以内に接続する確率：
P(X ≤ 3) = 1 - (0.6)³ = 1 - 0.216 = 78.4%
5回以内に接続する確率：
P(X ≤ 5) = 1 - (0.6)⁵ = 1 - 0.078 = 92.2%
サービス改善の目標設定
「95%の顧客が3回以内に接続」を目標とする場合：
P(X ≤ 3) = 1 - (1-p)³ = 0.95
(1-p)³ = 0.05
1-p = (0.05)^(1/3) ≈ 0.368
p ≈ 0.632
→ 接続確率を63%まで向上させる必要
指数分布との関係
離散から連続への拡張
幾何分布を連続時間に拡張したものが指数分布です。どちらも「無記憶性」という共通の重要な性質を持ちます。
対応関係
幾何分布：離散時間での初回成功までの試行回数
指数分布：連続時間での初回事象までの時間
どちらも「待ち時間」をモデル化
無記憶性の比較
幾何分布（離散）
P(X > s + t | X > s) = P(X > t)
例：「5回失敗した後、さらに3回以上かかる確率」
= 「最初から3回以上かかる確率」
指数分布（連続）
P(T > s + t | T > s) = P(T > t)
例：「2時間故障しなかった機械が、さらに1時間以上持つ確率」
= 「新品の機械が1時間以上持つ確率」
パラメータの関係
離散→連続の変換
幾何分布：成功確率p、期待値1/p
指数分布：発生率λ、期待値1/λ
小さな時間間隔Δtで：
p ≈ λΔt （近似関係）
期待値の一致：1/p ≈ 1/(λΔt) = 1/λ × 1/Δt
実践的な使い分け
幾何分布を使う場合
・試行が明確に区切られている
・回数に意味がある
例：試験受験、製品検査、営業訪問
指数分布を使う場合
・時間が連続的
・瞬間的な発生率が重要
例：機器故障、電話着信、放射線検出
幾何分布の実践的活用
1. マーケティング戦略
新規顧客獲得
営業成功率：10%
初回成功までの訪問回数：X ~ Geo(0.1)
期待値：E(X) = 10回
営業コスト：1回あたり5,000円
期待獲得コスト：10 × 5,000 = 50,000円/顧客
成功率を15%に向上させた場合：
期待獲得コスト：(1/0.15) × 5,000 = 33,333円/顧客
コスト削減効果：16,667円/顧客
2. 品質管理
検査戦略の最適化
不良品発見確率：5%
初回発見までの検査個数：X ~ Geo(0.05)
95%の確率で検査完了する個数：
P(X ≤ k) = 1 - (0.95)^k = 0.95
k ≈ 59個
→ 60個検査すれば95%の確率で不良品を発見
3. システム設計
冗長システムの設計
各コンポーネントの故障確率：1%/日
1個目の故障までの期間：X ~ Geo(0.01)
期待値：100日
2個並列配置の場合：
どちらかが故障する確率：1 - (0.99)² = 0.0199
初回故障までの期待値：1/0.0199 ≈ 50.3日
→ 冗長化により信頼性は向上するが、
故障頻度は約2倍になる
幾何分布の限界と注意点
1. 無記憶性の仮定
問題となる場合
・学習効果がある：試験受験（経験により合格率向上）
・疲労累積がある：機械部品（使用により故障率増加）
・環境変化がある：季節による成功率変動
代替モデル
・負の二項分布：異質性を考慮
・ワイブル分布：故障率の時間変化を考慮
・ベイズモデル：学習効果を考慮
2. 成功確率の推定
サンプルサイズの問題
観測された成功回数が少ない場合：
・成功確率の推定精度が低い
・期待値の信頼区間が広い
→ 十分なデータ収集が必要
3. 実用的な考慮事項
現実との乖離
・純粋にランダムな試行は稀
・外部環境の影響
・意思決定者の学習や疲労
→ モデルの限界を理解して適用
まとめ
幾何分布は「初回成功までの試行回数」をモデル化する基本的な分布です。無記憶性という興味深い性質により、多くの待ち時間分析や信頼性工学の問題に適用でき、期待値1/pという単純な公式で実用的な予測が可能になります。
今日のポイント
✅ 基本性質：期待値1/p、分散(1-p)/p²、無記憶性
✅ 適用条件：独立試行、一定成功確率、初回成功まで計測
✅ 無記憶性：過去の失敗は将来の成功確率に影響しない
✅ 実践例：資格試験、機械故障、営業活動の分析
✅ 指数分布との関係：離散版と連続版の対応関係
次回は「指数分布」について学びます。幾何分布の連続版として、連続的な待ち時間をモデル化し、信頼性工学やサービス理論で中核的な役割を果たす重要な分布を詳しく解説します！