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ばらつき 0.3mm の部品と 0.4mm の部品をつなぐと、全体のばらつきは 0.7mm ではなく 0.5mm です。標準偏差は足せないのに、分散なら足せる。この記事は、その仕組みを分散の定義から順に確かめます。
分散とは？求め方を5個の寸法で
分散とは、各データの平均からのずれを2乗して平均した値です。ずれをそのまま足すとプラスとマイナスが打ち消し合って0になるので、2乗してから平均します。
例：軸の寸法を5本測ると 10.2・9.9・10.1・10.0・9.8mm。平均は 10.0mm です。
n−1 で割る理由は、標本の平均を使うと偏差が小さめに出る分を補正するためです。くわしくは標準偏差の記事と、自由度の考え方で説明しています。
分散と標準偏差の違い｜単位と足せるかどうか
分散と標準偏差は同じ散らばりを表しますが、単位と足し算のしかたが違います。足し算は分散で、報告は標準偏差でするのが基本です。
分散の加法性とは？サイコロ2個で確かめる
分散の加法性とは、X と Y が独立なら、和の分散は分散どうしの和になる性質です。サイコロ2個で確かめられます。
サイコロ1個の出目の分散は 35/12≒2.92。2個の合計の分散は、36通りの出方を全部数えると 35/6≒5.83 で、ちょうど 2.92＋2.92 です。標準偏差は 1.71＋1.71＝3.42 にはならず、√5.83≒2.42。
引き算でも分散は足す｜V(X−Y)＝V(X)＋V(Y)と公式の一覧
差の分散も、分散どうしの和になります。「引き算だから分散も引く」はよくある誤りです。−Y の分散は (−1)²×V(Y)＝V(Y) で、マイナスは2乗で消えます。
なぜ足せるのか。X＋Y のずれを2乗すると、V(X)＋V(Y)＋2Cov(X, Y) の3つに分かれます。最後の共分散（一緒に動く度合い）は、独立なら平均すると0。だから独立のときだけ、そのまま足せます。
一緒に動く度合いを表す共分散の求め方
分散の加法性の例題｜部品2個の長さと、穴と軸のすきま
例題①：部品A（標準偏差0.3mm）と部品B（0.4mm）をつなぐ。全体の標準偏差は、分散にして 0.09＋0.16＝0.25、ルートをとって 0.5mm（0.7mm ではない）。
例題②：穴の直径は平均20.10mm・標準偏差0.03mm、軸は平均20.00mm・0.04mm（どちらも正規分布で独立）。すきま＝穴−軸 が0より小さく、はまらなくなる割合は？
確率の読み方は正規分布の記事で、z から確率を出す計算ツールつきで説明しています。
組立品の不適合品率｜部品3個の長さのばらつき
部品をいくつもつなぐ組立品では、平均は足し、分散も足して、規格から外れる割合を正規分布で見積もります。
例題：部品A（平均30.0mm・σ0.50mm）を2個、その間に部品B（平均15.0mm・σ0.20mm）を1個はさんで製品をつくる。規格は 73.5〜76.5mm。
共分散 Cov＝ρ×σA×σB。部品Aは2個あるので、AとBの組が2つ → 2Cov×2＝4Cov
この例題は旧版の記事にもあり、正規分布表の値から 4.14%・2.08% と書いていました。z をそのまま正規分布で計算し直すと 4.12%・2.06% で、表の丸めの分だけ違います。判断が変わる差ではありませんが、ここでは計算した値に合わせました。
独立でないときの分散の足し算｜共分散の分だけ増減する
X と Y が独立でないときは、共分散の2倍が残ります。和では足し、差では引きます。
例題：商品Aの利益は分散400（σ20万円）、商品Bは分散225（σ15万円）、相関係数 ρ＝0.6。Cov＝0.6×20×15＝180。和の分散は 400＋225＋360＝985（σ≒31.4万円）、差の分散は 400＋225−360＝265（σ≒16.3万円）。独立なら 625（σ25万円）でした。
ばらつき合成の計算ツール
部品ごとに、平均と標準偏差、足すか引くかを入れてください（使わない行は空欄のまま）。規格を入れると、正規分布とみなして規格から外れる割合も出します。最初は例題②の数字が入っています。
入力すると、その場で計算し直します。入力した数字は画面の中で計算するだけで、どこにも送信されません。部品どうしが独立で、規格外れの割合は正規分布とみなして計算しています。
n個を足すと√n倍、平均すると1/√n倍
同じばらつき σ の部品を n 個つなぐと、分散は nσ² なので標準偏差は σ√n です。n 個の平均なら、分散は σ²/n で標準偏差は σ/√n。これが標準誤差の式で、平均をとるとばらつきが小さくなる理由です。
同じ部品を4個つなげば、ばらつきは2倍（4倍ではない）。4個の平均をとれば半分になります。
平均のばらつき σ/√n＝標準誤差の意味
分散の加法性を現場で使うときの判断とExcel
分散の加法性は、公差の積み上げ（組立寸法のばらつきの見積もり）で使います。2乗して足す方法は、部品が独立で、数が多いほど実際に近くなります。
筆者なら、公差の積み上げでは「全部が同じ向きに最大までずれた最悪値」と「2乗和のルート」の両方を出して並べます。理由は、2乗和は部品が独立という前提に立っているので、同じ金型・同じロットの部品が混ざると、実際のばらつきが2乗和より大きく出ることがあるからです。2つの値の差を見れば、前提が崩れたときの影響の大きさもわかります。
品質保証の現場でよく起きるのは、同じ材料ロットから取った部品どうしを独立として2乗和で見積もり、実物の組立寸法が見積もりより広がる型です。相関がありそうなら、実物を数十個組んで測り、見積もりと比べておきます。
積の分散（面積や電力など、かけ算の量のばらつき）は足し算と式が違うので、積の分散 V(XY)で別に扱っています。
ばらつきと規格から工程能力指数を出す
QC検定での分散の加法性の出方
QC検定の手法の問題では、組立品の平均・分散と、規格から外れる割合を正規分布表で求める形がよく見られます。期待値の足し算（期待値）と組み合わせて出ます。
- 平均は足す（差なら引く）
- 分散は和でも差でも足す。標準偏差はそのまま足さない
- 同じ部品が2個なら、分散も2個分足す
- 相関係数が与えられたら Cov＝ρσXσY で ±2Cov を足す
級ごとの出題範囲は、日本規格協会の「品質管理検定レベル表」で確かめてください。確認しようとした時点では公式のページが保守中で開けなかったため、この記事では級を断定していません。
よくある質問
まとめ｜分散は足せる、標準偏差は2乗して足す
- 分散＝偏差の2乗の平均。標本からは n−1 で割る不偏分散
- 独立なら V(X＋Y)＝V(X)＋V(Y)、差でも V(X−Y)＝V(X)＋V(Y)
- 標準偏差は √(σ1²＋σ2²)。0.3 と 0.4 で 0.5
- 組立品（σ0.50・0.20・0.50）は σ＝0.735、規格±1.5mm で約4.1% が外れる
- 独立でないときは ±2Cov。相関がプラスなら和のばらつきは大きくなる
次に読むべき記事
分散の足し方がわかりました。次は、一緒に動く度合いの共分散と、ばらつきの分布の土台へ進みます。
テーマ別に、もっと深く学ぶ
気になるところから読んでも大丈夫です。どの記事も、はじめて学ぶ人向けにやさしく書いています。
