- 「固有値」「固有ベクトル」「寄与率」…似た言葉が多すぎて混乱
- 公式は覚えたけど、「なぜこの式なの？」がわからない
- 計算はできても、結果の「意味」が説明できない
- 4つの用語の違いが「宝探し」のたとえでスッキリわかる
- 公式の意味をイメージで説明できるようになる
- QC検定1級の計算問題が自信を持って解ける
目次
まず全体像をつかもう｜4つの用語の関係マップ
いきなり個別の用語を覚えようとすると混乱します。まずは「4つの用語がどう関係しているか」を見てみましょう。
主成分分析は「宝探しゲーム」に似ています。
| ①固有ベクトル | 🧭 コンパス = どの方向に宝がある？ |
| ②固有値 | 💰 宝の量 = その方向にどれだけ宝がある？ |
| ③寄与率 | 🥧 パイの取り分 = 全体の何%の宝？ |
| ④累積寄与率 | 📊 積み上げ合計 = ここまでで何%集まった？ |
この関係を頭に入れてから、それぞれの用語を見ていきましょう。
用語①：固有ベクトル｜「どの方向に宝がある？」を示すコンパス
宝探しをするとき、最初に必要なのは「どの方向に進めばいいか」ですよね。
固有ベクトルは、まさにその「方向を示すコンパス」の役割をします。
固有ベクトル = データが一番「広がっている方向」を指す矢印
データを散布図にプロットすると、点の集まりは楕円形に広がることが多いです。
その楕円の「長い方向」が第1固有ベクトル、「短い方向」が第2固有ベクトルになります。
固有ベクトルの重要な性質｜必ず直角に交わる
固有ベクトルには大事な性質があります。
固有ベクトル同士は必ず直角（90°）に交わる。
これを「直交する」と言います。
なぜ直角なのか？それは、「すでに説明した方向とは違う情報を取り出すため」です。
第1主成分で「東西方向の広がり」を見たなら、第2主成分では「南北方向の広がり」を見る。同じ方向を2回見ても意味がないですよね。
用語②：固有値（λ）｜「その方向にどれだけ宝がある？」
固有ベクトルが「方向」を示すなら、固有値は「その方向にある宝の量」です。
固有値 = その方向にデータがどれだけ広がっているか（分散）
同じ距離を歩いても、方向によって見つかる宝の量は違います。
データも同じ。ある方向から見るとデータが大きく広がって見え（固有値が大きい）、別の方向から見ると狭くまとまって見える（固有値が小さい）。
なぜ「固有値＝分散」なの？｜イメージで理解する
これはとても大事なポイントです。
5人を一列に並べて写真を撮ることを想像してください。
良い角度から撮ると、5人がバラバラに広がって見える（バラつき＝分散が大きい）。
悪い角度から撮ると、5人が重なって見える（バラつき＝分散が小さい）。
この「バラつきの大きさ」が固有値です。だから固有値＝分散なのです。
固有値（λ）= その主成分の分散 = Var(Z)
これはQC検定で必ず出る公式です！
固有ベクトルと固有値はセット！｜方向と大きさ
ここで大事なことを確認しましょう。
| 用語 | 役割 | 宝探しで例えると |
|---|---|---|
| 固有ベクトル | 方向を示す | 🧭 コンパス「北へ進め！」 |
| 固有値 | 大きさを示す | 💰 宝箱「2.1kg分の金貨！」 |
この2つは必ずペアで登場します。「どの方向に」「どれだけの情報があるか」を一緒に表しているからです。
固有値の大きさで重要度がわかる
固有値を大きい順に並べると、主成分の重要度ランキングになります。
例えば、3つの変数で主成分分析をした結果：
| 順位 | 主成分 | 固有値（λ） | 解釈 |
|---|---|---|---|
| 🥇 | 第1主成分 | 2.1 | 一番重要！ |
| 🥈 | 第2主成分 | 0.7 | 2番目に重要 |
| 🥉 | 第3主成分 | 0.2 | あまり重要でない |
でも、「2.1」「0.7」「0.2」という数字だけ見ても、「全体の中でどれくらい重要なの？」がわかりにくいですよね。
そこで登場するのが寄与率です。
用語③：寄与率｜「全体の何%の宝？」パイの取り分
寄与率は、「その主成分が全体の情報のうち何%を占めているか」を表します。
ホールケーキ（パイ）を切り分けるイメージです。
寄与率 = その主成分が「全体の宝」の何%を持っているか
寄与率の公式｜なぜこの式になるの？
- λᵢ：その主成分の固有値（自分の宝）
- Σλ：全部の固有値の合計（全部の宝）
この公式、難しそうに見えますが、実は小学校で習う「割合」の計算と同じです。
【日常の例】クラス30人のうち、赤い服を着ている人は21人。割合は？
→ 21 ÷ 30 × 100% = 70%
【寄与率】全部の固有値の合計が3.0で、第1主成分の固有値が2.1。割合は？
→ 2.1 ÷ 3.0 × 100% = 70%
考え方は全く同じです！「全体のうち、どれだけの割合か」を計算しているだけ。
寄与率の計算を実際にやってみよう
先ほどの例（λ₁=2.1, λ₂=0.7, λ₃=0.2）で計算してみましょう。
Step 1：全部の固有値を足す
Σλ = 2.1 + 0.7 + 0.2 = 3.0
Step 2：それぞれの固有値を合計で割って×100%
- 第1主成分：2.1 ÷ 3.0 × 100% = 70%
- 第2主成分：0.7 ÷ 3.0 × 100% = 23%
- 第3主成分：0.2 ÷ 3.0 × 100% = 7%
Step 3：確認（全部足すと100%になるか？）
70% + 23% + 7% = 100% ✓ OK！
寄与率を全部足すと必ず100%になります。
もし100%にならなかったら、どこかで計算ミスしています！
用語④：累積寄与率｜「ここまでで何%集まった？」
累積寄与率は、第1主成分から順番に寄与率を足し算していった合計です。
コインを積み上げていくイメージで考えましょう。
累積寄与率 = 上から順に寄与率を足していった合計（%）
累積寄与率の計算｜足し算するだけ！
| 主成分 | 固有値（λ） | 寄与率 | 累積寄与率 | 計算方法 |
|---|---|---|---|---|
| 第1 | 2.1 | 70% | 70% | 70% |
| 第2 | 0.7 | 23% | 93% ✓ | 70% + 23% |
| 第3 | 0.2 | 7% | 100% | 70% + 23% + 7% |
累積寄与率の使い方｜「何個の主成分を使う？」の判断基準
累積寄与率の一番大事な使い方は、「何個の主成分を採用するか」を決めることです。
累積寄与率が 80% を超えたら、そこでストップ！
上の例では、第2主成分までで累積寄与率93%なので、2つの主成分で十分です。
第3主成分（7%）は無視しても、ほとんど情報を失いません。
問題によっては「80%以上」「70%以上」「90%以上」など基準が指定されることがあります。
問題文をよく読んで、指定された基準を使いましょう！
実践！QC検定で出る計算問題を解いてみよう
ここまでの知識を使って、実際の問題を解いてみましょう。
5つの変数について主成分分析を行ったところ、以下の固有値が得られた。
λ₁=2.5, λ₂=1.2, λ₃=0.8, λ₄=0.3, λ₅=0.2
(1) 各主成分の寄与率を求めよ
(2) 累積寄与率が80%を超えるのは第何主成分までか
解答の手順
Step 1：固有値の合計を計算
Σλ = 2.5 + 1.2 + 0.8 + 0.3 + 0.2 = 5.0
Step 2：各主成分の寄与率を計算
| 主成分 | 固有値（λ） | 寄与率の計算 | 寄与率 | 累積寄与率 |
|---|---|---|---|---|
| 第1 | 2.5 | 2.5÷5.0×100% | 50% | 50% |
| 第2 | 1.2 | 1.2÷5.0×100% | 24% | 74% |
| 第3 | 0.8 | 0.8÷5.0×100% | 16% | 90% ✓ |
| 第4 | 0.3 | 0.3÷5.0×100% | 6% | 96% |
| 第5 | 0.2 | 0.2÷5.0×100% | 4% | 100% |
(1) 寄与率：第1=50%, 第2=24%, 第3=16%, 第4=6%, 第5=4%
(2) 累積寄与率が80%を超えるのは第3主成分まで（累積90%）
よくある間違い3選｜ここで点を落とさない！
間違い：λ₁ ÷ λ₂ = 2.1 ÷ 0.7 = 3.0
正解：λ₁ ÷ Σλ（全部の合計） = 2.1 ÷ 3.0 = 0.7 → 70%
分母は必ず「全部の固有値の合計」です！
間違い：2.1 ÷ 3.0 = 0.7（単位なし）
正解：2.1 ÷ 3.0 × 100 = 70%
寄与率はパーセント（%）で表します！
固有ベクトル = 方向（コンパス）「どっちに進む？」
固有値 = 大きさ（宝の量）「どれだけある？」
全く別物です！名前が似ているので注意！
まとめ｜4つの用語を完全マスター！
| 用語 | イメージ | 公式・意味 | 覚え方 |
|---|---|---|---|
| 固有ベクトル | 🧭 コンパス | データが広がる方向 | 直角に交わる！ |
| 固有値（λ） | 💰 宝箱 | λ = 分散 = 情報量 | 大きいほど重要！ |
| 寄与率 | 🥧 パイの取り分 | λᵢ ÷ Σλ × 100% | 全部で100%！ |
| 累積寄与率 | 📊 積み上げ | 上から順に足す | 80%超えでOK！ |
- 固有ベクトルと固有値はセット（方向と大きさ）
- 寄与率は「割合を%で出す」いつもの計算と同じ
- 累積寄与率80%を超えたら、そこで主成分数を決定
- 計算したら合計100%になるか確認！
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