💭 こんな疑問、ありませんか？
- 「ワイブル分布って、正規分布や指数分布と何が違うの？」
- 「形状パラメータmって、結局何を表してるの？」
- 「故障率曲線（バスタブカーブ）との関係がわからない」
✅ この記事でわかること
- ワイブル分布とは何か、なぜ信頼性工学で使われるのか
- 形状パラメータmの意味＝故障パターン（初期・偶発・摩耗）を決める
- 尺度パラメータηの意味＝寿命の長さを決める
- 信頼度関数R(t)と故障率関数λ(t)の導出
- バスタブカーブとの関係をイメージで理解
📌 結論（3秒で理解）
ワイブル分布は、形状パラメータmの値を変えるだけで、
「初期故障」「偶発故障」「摩耗故障」のすべての故障パターンを表現できる万能分布です。
信頼性工学では「故障データの分析」に欠かせないツールです。
製品の寿命を予測したい。故障のパターンを数値で把握したい。
そんなとき、信頼性工学で最もよく使われるのがワイブル分布です。
「分布」と聞くと難しそうですが、ワイブル分布の本質はたった2つの数字で故障の特徴を表現できることです。
この記事では、ワイブル分布を図解たっぷり・中学生でもわかる言葉で解説します。
「mが大きいと何が変わるのか？」「ηは何を意味するのか？」
イメージで理解すれば、怖くありません。
目次
🎯 ワイブル分布とは？
📖 ワイブル分布の定義
スウェーデンの数学者ワロディ・ワイブルが1951年に提唱した確率分布。
2つのパラメータを調整するだけで、さまざまな故障パターンを表現できる。
信頼性工学では「最も使われる分布」と言っても過言ではありません。
💡 なぜワイブル分布が使われるのか？
世の中には「正規分布」「指数分布」などいろいろな分布がありますが、
故障の分析にはワイブル分布が圧倒的に便利です。その理由は…
🏆 ワイブル分布が選ばれる3つの理由
- 柔軟性：パラメータを変えるだけで、あらゆる故障パターンを表現できる
- 物理的意味：パラメータが「故障の性質」に直結していて解釈しやすい
- 実績：機械・電子部品・材料など、幅広い分野で有効性が実証されている
📐 ワイブル分布の2つのパラメータ
ワイブル分布は、たった2つの数字で形が決まります。
① 形状パラメータ m
故障のパターン（形）を決める
別名：ワイブル係数、形状母数
記号：m または β（ベータ）
② 尺度パラメータ η
寿命の長さ（スケール）を決める
別名：特性寿命、尺度母数
記号：η（イータ）または α（アルファ）
🔴 形状パラメータ m ─ 故障パターンを決める
形状パラメータmは、「この製品がどんな壊れ方をするか」を決めます。
mの値によって、故障率の「形」が劇的に変わります。
📊 mの値と故障パターンの関係
| mの値 | 故障率の傾向 | 故障パターン | バスタブカーブ |
|---|---|---|---|
| m < 1 | 時間とともに減少 | 初期故障型（DFR） | 左側の下り坂 |
| m = 1 | 一定（指数分布） | 偶発故障型（CFR） | 真ん中の平ら |
| m > 1 | 時間とともに増加 | 摩耗故障型（IFR） | 右側の上り坂 |
🎭 mの値を「人間の一生」でイメージする
💡 人間の死亡率で考えると…
m < 1（初期故障型）：生まれたばかりの赤ちゃん
→ 最初は弱いが、生き延びるほど丈夫になる
m = 1（偶発故障型）：若い成人
→ 事故など、いつ起きるかわからないランダムな死亡
m > 1（摩耗故障型）：高齢者
→ 年を取るほど、死亡率が上がっていく
🏭 実際の製品での例
- m ≈ 0.5〜0.8：半導体の初期不良、溶接の欠陥
- m ≈ 1.0：電子部品のランダム故障
- m ≈ 2.0〜3.0：ベアリング、歯車などの機械部品の摩耗
- m ≈ 3.5：金属疲労による破壊
🟢 尺度パラメータ η ─ 寿命の長さを決める
尺度パラメータη（イータ）は、「この製品がどのくらい長持ちするか」を決めます。
mが「形」なら、ηは「大きさ」を決めるパラメータです。
📖 尺度パラメータηの意味
全体の約63.2%が故障するまでの時間を表します。
別名：特性寿命（characteristic life）
単位：時間、回数、走行距離など（製品に応じて）
🚗 車の走行距離でイメージする
💡 同じ形状パラメータ、違う尺度パラメータ
2種類のタイヤがあるとします。どちらも同じ摩耗パターン（m=2）ですが…
タイヤA：η = 30,000km
→ 約63%のタイヤが30,000kmまでに交換が必要
タイヤB：η = 50,000km
→ 約63%のタイヤが50,000kmまでに交換が必要
ηが大きいほど「長持ち」ということです。
🤔 なぜ「63.2%」という中途半端な数字？
📐 数学的な理由
信頼度関数 R(t) = exp[−(t/η)m] において、
t = η を代入すると…
R(η) = exp[−1] = 1/e ≈ 0.368
つまり、t = η のとき約36.8%が生存している。
逆に言えば、約63.2%が故障済みということです。
この「1/e」という値は、数学的に扱いやすいため基準として使われます。
🔵 ワイブル分布の4つの関数
ワイブル分布には、用途に応じた4つの関数があります。
それぞれの意味と関係を押さえましょう。
📐 4つの関数と公式
① 信頼度関数 R(t)
R(t) = exp[−(t/η)m]
意味：時間tまで故障せずに生き残る確率
② 累積故障分布関数 F(t)
F(t) = 1 − R(t) = 1 − exp[−(t/η)m]
意味：時間tまでに故障する確率（信頼度の裏返し）
③ 確率密度関数 f(t)
f(t) = (m/η)(t/η)m−1 exp[−(t/η)m]
意味：時間tで故障する確率の密度（グラフの「高さ」）
④ 故障率関数 λ(t)
λ(t) = f(t)/R(t) = (m/η)(t/η)m−1
意味：時間tまで生き残った製品が、次の瞬間に故障する確率
🔗 4つの関数の関係
R(t) + F(t) = 1 （生存 + 故障 = 100%）
f(t) = F(t)の微分 = −R(t)の微分
λ(t) = f(t) / R(t) （瞬間故障率）
🟠 故障率関数とバスタブカーブの関係
ワイブル分布の最大の強みは、形状パラメータmを変えるだけで、バスタブカーブの3つの期間すべてを表現できることです。
🛁 バスタブカーブとの対応
m < 1
故障率：減少型（DFR）
バスタブ左側
初期故障期間
m = 1
故障率：一定型（CFR）
バスタブ底面
偶発故障期間
m > 1
故障率：増加型（IFR）
バスタブ右側
摩耗故障期間
※ DFR = Decreasing Failure Rate、CFR = Constant Failure Rate、IFR = Increasing Failure Rate
📐 故障率関数の計算例
📝 例題
ある部品の故障データを分析したところ、以下のパラメータが得られた。
m = 2、η = 1000時間
t = 500時間 における故障率 λ(500) を求めなさい。
📊 計算プロセス
Step 1：故障率関数の公式を確認
λ(t) = (m/η)(t/η)m−1
Step 2：数値を代入
λ(500) = (2/1000)(500/1000)2−1
λ(500) = 0.002 × (0.5)1
Step 3：計算して完了！
λ(500) = 0.001 [/時間] = 0.1%/時間
💡 結果の解釈
m = 2 > 1 なので、これは摩耗故障型の部品です。
t = 500時間の時点で、1時間あたり約0.1%の確率で故障します。
m > 1なので、時間が経つほどこの値は大きくなっていきます（摩耗が進むため）。
🎯 m = 1 のとき、指数分布になる
💡 ワイブル分布と指数分布の関係
m = 1 を代入すると、故障率関数は…
λ(t) = (1/η)(t/η)0 = 1/η = 一定
これは「故障率が一定」という指数分布の特徴そのものです。
つまり、指数分布はワイブル分布の特殊ケース（m=1）なのです。
| mの値 | ワイブル分布の特殊ケース |
|---|---|
| m = 1 | 指数分布（故障率一定） |
| m = 2 | レイリー分布（風速などのモデル） |
| m ≈ 3.6 | ほぼ正規分布に近似 |
📝 まとめ
✅ この記事のポイント
- ワイブル分布は、2つのパラメータであらゆる故障パターンを表現できる万能分布
- 形状パラメータ m：故障の「パターン」を決める
m < 1（初期故障）、m = 1（偶発故障）、m > 1（摩耗故障） - 尺度パラメータ η：寿命の「長さ」を決める
約63.2%が故障するまでの時間（特性寿命） - 4つの関数：R(t)信頼度、F(t)累積故障、f(t)確率密度、λ(t)故障率
- 指数分布はm=1のワイブル分布（特殊ケース）
🔑 覚えておくべき公式
信頼度関数
R(t) = e−(t/η)m
故障率関数
λ(t) = (m/η)(t/η)m−1
ポイント：t = η のとき、R(η) = 1/e ≈ 0.368（約36.8%が生存）
💡 形状パラメータ m の早見表
| mの値 | 故障率 | 故障タイプ |
|---|---|---|
| m < 1 | 減少（DFR） | 初期故障 |
| m = 1 | 一定（CFR） | 偶発故障 |
| m > 1 | 増加（IFR） | 摩耗故障 |
🚀 次に読むべき記事
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