【電験三種・理論】ガウスの法則｜電気力線から電界を求める魔法の定理

📘 ガウスの法則、こんな悩みありませんか?

💡「ガウスの法則って何？名前からして難しそう…」

💡「∮E·dS = Q/ε₀って何の記号？意味が分からない…」

💡「どんな時にガウスの法則を使えばいいの？使い分けが分からない…」

✅ この記事で、すべてスッキリ解決します!

この記事では、「ガウスの法則」という電界計算の最強ツールを、「風船」や「シャワー」など身近な例え話を使って徹底的に解説します。
初心者の方でも、複雑な電界が簡単に計算できるようになります。

🎈 風船の中の空気

想像してください。風船の中に空気を入れると、風船の表面は内側から押されますよね？

・空気が多い → 表面を押す力が大きい（風船が大きく膨らむ）

・空気が少ない → 表面を押す力が小さい（風船が小さい）

・空気がゼロ → 表面を押す力がない（風船が萎む）

重要：風船の外の空気は、風船を膨らませる力に関係ありません。
重要なのは「中の空気の量」だけです。

🎯 ガウスの法則の本質

✅ 閉曲面を貫く電気力線の総本数 = 閉曲面の中にある電荷の量 に比例する

✅ 閉曲面の外にある電荷は、貫く電気力線の総本数に影響しない

✅ つまり、「中の電荷を数えれば、表面を貫く電気力線の本数が分かる」

⚡ ガウスの法則の公式

∮E·dS = Q / ε₀

または、電束Ψ（プサイ）を使って：

Ψ = Q / ε₀

💡 公式の意味（初心者向け）

閉曲面を貫く電気力線の総本数（左辺）
= 閉曲面の中の電荷の量（右辺）÷ ε₀

つまり、「袋の中の電荷を数えれば、袋を貫く電気力線の本数が分かる」ということです!

🚿 シャワーの水流

シャワーから出る水を想像してください。あなたは手のひらを水流にかざします。

ケース①：手のひらを水流に対して垂直に向ける
→ 手のひらに当たる水の量が最大（電束が最大）

ケース②：手のひらを斜めに傾ける
→ 手のひらに当たる水の量が減る（電束が減少）

ケース③：手のひらを水流に対して平行にする
→ 手のひらに当たる水の量がゼロ（電束ゼロ）

📌 電束の定義

電束 Ψ（プサイ）：面を貫く電気力線の総本数
単位：[C]（クーロン）または [N·m²/C]

公式：

Ψ = ∮E·dS = Q / ε₀

📚 覚えておくべき3つの性質

💡 電束の覚え方

電束 = 電荷が「放つ」電気力線の総本数

※「束（そく）」という字は「本数をまとめたもの」という意味です

🔢 ガウスの法則・計算の3ステップ

✅ ガウスの法則が使える条件

✓ 電荷の配置に対称性がある（球、円筒、平面など）

✓ ガウス面上で電界の強さが一定である

✓ 電界の向きがガウス面に対して垂直または平行

✓ 無限に広がる、または半無限の電荷分布

❌ ガウスの法則が使えない場合

✗ 対称性が全くない電荷配置（複雑な形状）

✗ ガウス面上で電界の強さがバラバラ

✗ 有限の大きさで、端の効果が無視できない場合

※ こういう場合は、クーロンの法則や電位を使って計算します

📚 例題①：点電荷の電界

問題：電荷Q [C] の点電荷があります。この電荷から距離r [m] 離れた点での電界の強さEを、ガウスの法則を使って求めてください。

【解答のステップ】

💡 ポイント

ガウスの法則を使うと、積分計算なしで電界が求まります。
これが、ガウスの法則の「魔法」なんです!

問題設定

無限に長い直線上に、単位長さあたりλ [C/m] の電荷が一様に分布しています。
この線から距離r [m] 離れた点の電界を求めます。

ガウス面の選び方：

線電荷を軸とする円筒面（半径r、高さL）を設定

円筒の側面積 = 2πrL

計算：

E × 2πrL = (λL) / ε₀

Lで割ると：

E = λ / (2πε₀r)

※ 電界は距離rに反比例します（点電荷のr²乗ではない!）

問題設定

無限に広い平面上に、単位面積あたりσ [C/m²] の電荷が一様に分布しています。
この平面から離れた点の電界を求めます。

ガウス面の選び方：

平面を貫く直方体（底面積S）を設定

電界が通る面 = 2つの底面（上下）

計算：

E × 2S = (σS) / ε₀

Sで割ると：

E = σ / (2ε₀)

※ 驚くべきことに、電界は距離に依存しない（どこでも一定!）

📌 3つの対称性まとめ

❌ ミス①：閉曲面の外の電荷まで含めてしまう

間違い：ガウス面の外にある電荷も Q に含めて計算してしまう
→ 正解：ガウス面の中にある電荷だけを数える。外の電荷は無関係!

❌ ミス②：ガウス面の形を間違える

間違い：対称性を無視して、適当な形のガウス面を選ぶ
→ 正解：球対称なら球面、円筒対称なら円筒面、平面対称なら直方体を選ぶ

❌ ミス③：面積計算を間違える

間違い：球の表面積を 4πr と間違える
→ 正解：球の表面積は 4πr²、円筒の側面積は 2πrL

❌ ミス④：対称性がない場合に無理やり使おうとする

間違い：複雑な形状なのに、ガウスの法則で解こうとする
→ 正解：対称性がない場合は、ガウスの法則は使えません。他の方法で解く

📚 頻出パターン

✅ 点電荷の電界 → 球対称、E=kQ/r² の導出

✅ 平行平板コンデンサの電界 → 平面対称、E=σ/(2ε₀) の応用

✅ 同心球導体の電界 → 球対称、中空部分と外部の電界

✅ 電束の計算 → Ψ=Q/ε₀ の直接計算

✅ ガウス面の選び方 → 対称性を見抜く問題

💡 暗記のコツ

覚え方①：ガウスの法則 = 「袋の中の電荷を数える」

覚え方②：電束Ψ = 「プサイ（Ψ）の形が、電気力線を束ねた形」

覚え方③：対称性 = 「球・筒・板」の3パターンだけ

覚え方④：面積公式
・球面：4πr²（4パイ、rの2乗）
・円筒側面：2πrL（2パイ、rかけるL）

✅ この記事のポイント総まとめ

📌 ガウスの法則 = 閉曲面を貫く電気力線の本数 = 中の電荷 ÷ ε₀

📌 風船の例え = 中の空気量が、表面を押す力を決める

📌 電束Ψ = 電気力線の総本数。単位は[C]

📌 計算3ステップ = ①対称性を見抜く、②ガウス面設定、③公式に代入

📌 3つの対称性 = 球（E∝1/r²）、円筒（E∝1/r）、平面（E=一定）

📌 重要 = ガウス面の「外」の電荷は無関係!

📚 次のステップ

ガウスの法則をマスターしたら、次は「コンデンサの電界」や「静電エネルギー」に進みましょう。
ガウスの法則を使えば、これらも驚くほど簡単に理解できます。

また、「電界と電位」の記事も合わせて読むと、理解がさらに深まります。