単回帰分析と回帰直線の超入門 ─ 中学「比例」でスッとわかるデータ分析の第一歩

はじめに

「気温が高いほどアイスが売れる」「勉強時間が長いほどテストの点が上がる」──
日常で感じる “右肩上がり・下がり” を 一本の直線で数値化 するのが単回帰分析です。
中学の「比例」を少し拡張しただけなので、ポイントを押さえればすぐに使いこなせます。

なぜ単回帰分析が必要なのか

回帰式のかたちと用語

$$\text{予測値 }\widehat{y}={\beta }_0+{\beta }_{1}x$$

比例との違いは切片が自由に動くことだけ。
だから「気温0 ℃でもアイスは多少売れる」といった現実的な線が引けます

回帰直線の決め方 ― “残差”を最小にする発想

1. 散布図を描く
   点の雲から右肩上がり／下がり・外れ値を目視チェック

2. 残差（観測値 − 予測値）を計算
   各点が直線からズレた距離

3. 残差²を全部足す
   正負を打ち消さず、大きなズレを強調

4. その合計が最小になる直線を選ぶ
   これが最小二乗法のゴール

イメージとしては「みんなのズレを正方形にして合計 → いちばん面積が小さい線」を探す作業です

具体例１：気温とアイス売上

回帰式（例）

$$\widehat{\text{売上}}=-120+12.5\times \text{気温}$$

• 傾き 12.5 → 気温が 1 ℃上がると約 13 個売上増

• 切片 -120 → 気温 0 ℃なら売上は 0 以下。あくまでも式の“延長線”上の値

このシンプルな式で、在庫や仕入れを温度ごとに自動計算できます

具体例２：勉強時間とテスト得点

回帰式（例）

$$\widehat{\text{得点}}=50+6\times \text{時間}$$

• 傾き 6 → １時間増えると平均 6 点アップ

• R² が 0.85 なら、「得点の 85 ％は勉強時間だけで説明できた」

残った 15 ％は睡眠・集中度・過去の基礎力など。他の変数を追加すれば多変量回帰へ発展します。

決定係数 $R^2$ で回帰直線の“信頼度”をチェック

$$R^2=1-\frac{S_E}{S_T}$$

• $S_T$：総平方和（データ全体のばらつき）

• $S_E$：残差平方和（線が説明しきれなかったばらつき）

たとえば $R^2\mathrm{<span\; class="katex"><span\; class="katex-html"\; aria-hidden="true"><span\; class="base"><span\; class="mrel">=</span></span><span\; class="base"><span\; class="mord">0.82</span></span></span></span>\; なら\; <strong\; data-start="2301"\; data-end="2323">ばらつきの\; 82\; ％は直線で説明済み</strong>。}$ビジネスでは 0.3 程度でも十分使える場合もあるので、数値は目的と難易度で解釈してください

まとめ

• 単回帰分析は「比例」＋切片でデータを一直線に説明

• 必要な理由：変化量の定量化・未来予測・意思決定の説得力

• 回帰直線は “残差²の合計”を最小に して決定

• 傾きで効果量、切片でスタート位置、$R^2$ で信頼度を把握

• 気温×売上や勉強時間×得点など、身近な例で即実践可能

これで「単回帰分析って何？」がスッと理解できたはずです。
次のステップでは “残差”のチェック方法と外れ値の扱い方 を掘り下げていきましょう。