こんにちは、シラスです。
これまで、比率の比較には「カイ二乗検定」や「Z検定」を使ってきました。
これらは非常に便利ですが、一つだけ致命的な弱点があります。
例えば、希少な副作用の調査や、破壊検査のようなコストのかかる実験では、データ数が「3個」や「5個」しかないことがあります。
そんな極限状態でカイ二乗検定を使うと、近似（ごまかし）が効かなくなり、誤った判定を下してしまいます。
そんな時に使うのが、今回紹介する統計学の奥義、「フィッシャーの正確確率検定（Fisher's Exact Test）」です。
近似を一切使わず、真正面から確率を計算するこの手法は、まさに「正確（Exact）」の名にふさわしい最強の検定です。
目次
1. なぜ「カイ二乗」じゃダメなのか？
カイ二乗検定は、本来カクカクしているデータ（離散型）を、滑らかなカーブ（連続型分布）に無理やり当てはめて計算しています。
データ数が多いときはこのズレは無視できますが、少ないと無視できなくなります。
例：「Aグループ5人のうち、成功は1人だけ」
→ 期待度数が小さすぎるため、カイ二乗検定を使うとP値が不正確になります。
2. フィッシャーのロジック：壺の中のボール
フィッシャーの検定は、近似（カーブ）を使いません。
その代わり、高校数学で習った「場合の数（コンビネーション）」を使って、その事象が起きる確率をドンピシャで計算します。
超幾何分布（Hypergeometric Distribution）
イメージは「壺の中からボールを取り出す」実験です。
- 壺の中に「赤玉（成功）」と「白玉（失敗）」が入っています。
- そこから何個か取り出した時、「赤玉がちょうど〇個出る確率」はいくらでしょう？
これを2つのグループ（A群・B群）の比較に応用したのがフィッシャーの検定です。
3. 計算式：階乗（！）の嵐
具体的な計算式を見てみましょう。
以下のような2×2の分割表（クロス集計表）があるとします。
| 成功 | 失敗 | 計 | |
|---|---|---|---|
| A群 | a | b | a+b |
| B群 | c | d | c+d |
| 計 | a+c | b+d | n |
この表が得られる確率 $P$ は、以下の式で求められます。
「！」は階乗（例：$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$）です。
周辺度数（外側の合計値）を固定した状態で、内側のセル（a,b,c,d）が偶然こうなる確率を計算しています。
4. 実践：副作用の有無を検定する
実際の「少数データ」でやってみましょう。
新薬の副作用を調べました。
- 投薬群（5人）： 副作用あり 4人
- 偽薬群（5人）： 副作用あり 1人
「投薬群の方が明らかに副作用が多いように見えるが、たった5人ずつのデータで有意差と言えるか？」
ステップ1：確率を計算する
この表（投薬4人、偽薬1人）が発生する確率を計算します。
（※手計算は大変ですが、イメージだけ掴んでください）
$$ P_{今の状態} = \frac{5! 5! 5! 5!}{10! 4! 1! 1! 4!} \approx \mathbf{0.024} \ (2.4\%) $$
ステップ2：「もっと極端なケース」も足す
P値とは「今の状態、またはそれ以上に極端な状態が起きる確率」でしたね。
今回より極端なケースとは、「投薬5人全員、偽薬0人」という状態です。
$$ P_{極端} \approx \mathbf{0.004} \ (0.4\%) $$
ステップ3：P値を出す
これらを合計します。
$$ P = 0.024 + 0.004 = \mathbf{0.028} $$
P値 = 0.028（2.8%） となりました。
有意水準 5% なら、「有意差あり」です！
わずか5人のデータでも、「これは偶然にしては出来すぎている（2.8%しかない）」と正確に判定できました。
まとめ
昔は計算が大変すぎて「小サンプル専用」と言われていましたが、PCが進化した現代では、「サンプル数が多くても、とりあえずフィッシャーを使っておけば間違いない（常に正確だから）」という使い方が主流になりつつあります。
「データが少ないから解析できない…」と諦める前に、この奥義を思い出してください。
さて、検定（白黒つける）はこれで完璧です。
最後は、この少数データから「真の発生率（％）の信頼区間」を導き出す、もう一つの奥義を紹介します。
次回、F分布を使った「正確な信頼区間」の計算方法です。
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