こんにちは、シラスです。
前回、サンプル数が少ない時は「カイ二乗検定（近似）」ではなく「フィッシャーの正確検定」を使うべきだ、という話をしました。
では、「推定（区間推定）」の場合はどうでしょうか？
以前紹介した「母比率の信頼区間」の公式は、正規分布近似を使ったものでした。
しかし、この公式には致命的な欠陥があります。
発生数が「0回」の時、計算不能（誤差ゼロ）になってしまうのです。
例えば、「5回実験して、失敗は0回だった」とします。
- 比率 $\hat{p} = 0$
- 標準誤差 $\sqrt{0 \times 1 / 5} = 0$
すると、信頼区間は $0 \pm 0$ （絶対失敗しない！） という、あり得ない結論になってしまいます。
「たった5回成功しただけで、未来永劫失敗しない」なんて言いきれませんよね？
この矛盾を解決し、少ないデータからでも厳密なリスク（上限値）を弾き出すのが、今回紹介する「F分布を利用した正確な信頼区間」です。
目次
1. なぜ「F分布」が出てくるのか？
「比率の話なのに、なぜ分散比のF分布？」と不思議に思うかもしれません。
数学的な証明は省きますが、「二項分布（カクカクした分布）」と「ベータ分布（連続分布）」と「F分布」は、親戚関係にあります。
数式変換すると、二項分布の累積確率は、F分布の形に書き換えることができるのです。
これを利用すると、近似（ごまかし）を一切使わずに、厳密な確率計算が可能になります。
（これを「クロッパー・ピアソン（Clopper-Pearson）の正確信頼区間」と呼びます）
2. 計算式：見るだけで嫌になる？
公式は非常に長くて複雑です。
（※QC検定1級を受験する人以外は、暗記する必要はありません。「F値を使うんだな」とだけ覚えてください）
▼ 下側信頼限界 $P_L$
自由度： $\phi_1 = 2(n-x+1), \ \phi_2 = 2x$
▼ 上側信頼限界 $P_U$
自由度： $\phi_3 = 2(x+1), \ \phi_4 = 2(n-x)$
複雑ですね…。
しかし、実務で重要なのは、この式を使って「0回の時のリスク」を見積もることです。
3. 実践：失敗ゼロでも油断するな
具体的なケースで計算してみましょう。
宇宙開発用の部品を $n=5$ 個 作成し、耐久テストを行いました。
結果、$x=0$ 個（全数合格、故障ゼロ） でした。
「この部品の故障率は、最悪（95%信頼区間の上限）で何％と見積もるべきか？」
通常の計算では「故障率0%」ですが、F分布を使うと「隠れたリスク」が見えてきます。
ステップ1：自由度を決める
上側限界 $P_U$ の式の自由度を計算します。
$n=5, x=0$ なので、
- 分子自由度 $\phi_3 = 2(0+1) = 2$
- 分母自由度 $\phi_4 = 2(5-0) = 10$
ステップ2：F分布表を見る
F分布表から、自由度 $(2, 10)$、片側2.5%（両側5%）の値を探します。
$F(2, 10; 0.025) = 5.46$ （※表によっては載っていないので補間します。ここでは約5.46とします）
ステップ3：公式に代入
なんと！ 上限値は 52% です。
「5回連続で成功した」というデータだけでは、統計学的には「故障率が50%を超える（2回に1回壊れる）粗悪品である可能性」を否定できないのです。
これが「小サンプルの怖さ」であり、正確な区間推定を行う意義です。
4. 実務での使い所
このF分布を使った推定は、主に「信頼性工学」の分野で使われます。
- 破壊検査： 製品を壊すテストなので、数個しか試せない。
- 医療データ： 症例数が極端に少ない。
こうした場面で「発生ゼロでした！安全です！」と報告するのは素人です。
プロはF分布を使って「発生はゼロでしたが、信頼区間上限は〇〇%なので、リスクはまだ残っています」と報告します。
まとめ
これで「比率（確率）」シリーズは完結です。
近似（Z検定）から厳密解（フィッシャー・F分布）まで、状況に合わせて武器を使い分けられるようになれば、あなたはもうデータ分析の上級者です。
次回からは、いよいよ統計学の最難関にして最高峰。
複数の条件を同時に操る「実験計画法（Design of Experiments）」の深淵へと進んでいきましょう。
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