- 「固有値」「固有ベクトル」という言葉を見た瞬間にフリーズしてしまう
- 主成分分析の本に出てくるけど、結局それが何を表しているのかピンとこない
- 「寄与率」「累積寄与率」の計算方法と、それが何の役に立つのか知りたい
- 固有値・固有ベクトルが「結局なにを表す数字なのか」が、たとえ話でわかる
- 寄与率・累積寄与率の計算が、途中式つきで自分でもできるようになる
- 主成分分析で「いくつの軸を使えばいいか」の決め方がわかる
「固有値（こゆうち）」「固有ベクトル」——主成分分析を学びはじめると、ほとんどの人がここで足を止めます。数式が並んだ瞬間、「もう無理だ」と本を閉じたくなりますよね。はじめて見て戸惑うのは、当たり前です。
でも、この2つは「むずかしい計算」を覚える必要はありません。大事なのは「それが何を意味しているのか」というイメージだけです。この記事では、数式を「宝探し」にたとえながら、一つずつやさしくほどいていきます。
固有値（こゆうち）は「その軸がどれだけ情報＝データのバラつきを持っているか」を表す数字です。固有ベクトルは「その軸が向いている方向」を表す矢印です。主成分分析では、固有値が大きい方向ほど大事な情報が詰まっています。そして寄与率（きよりつ）は「その軸が全体の情報の何割を説明しているか」を示す割合で、「固有値 ÷ 固有値の合計」で計算します。
目次
そもそも主成分分析は「宝探し」をしている
固有値の話に入る前に、主成分分析（しゅせいぶんぶんせき）が何をしているのかを、ざっくりつかんでおきましょう。これがわかると、固有値がスッと理解できます。
主成分分析がやりたいことは、ひとことで言えば「たくさんあるデータの中から、いちばん大事な情報が詰まっている方向を見つけ出すこと」です。これはまさに、宝の地図を持って「お宝が眠っている場所」を探す宝探しと同じです。
広い土地のどこかに宝が埋まっているとします。やみくもに掘っても見つかりません。でも「宝はこの方向に多く埋まっている」とわかれば、効率よく掘れますよね。主成分分析は、データという土地から「情報という宝がいちばん多い方向」を教えてくれる地図づくりなのです。
ここで言う「情報」とは、専門的には「分散（ぶんさん）＝データのバラつき具合」のことです。なぜバラつきが情報なのか、簡単な例で考えてみます。クラス全員が同じテストで全員100点なら、点数を見ても誰が誰だか区別できません。バラつきがゼロだと、情報もゼロなのです。逆に点数がバラバラなら、一人ひとりの違いがよくわかります。
つまり、主成分分析では「バラつき（分散）が大きい方向＝情報がたくさん詰まった、お宝の方向」と考えます。この「お宝の方向」を見つけるための道具こそが、固有値と固有ベクトルなのです。
固有ベクトルとは「お宝が眠る方向を指す矢印」
まずは固有ベクトルから説明します。固有ベクトル（こゆうベクトル）とは、かんたんに言えば「お宝（情報）が多く眠っている方向を指し示す矢印」のことです。
固有ベクトル＝「新しい軸（主成分）が向いている方向」。たくさんの矢印の候補の中から、データのバラつきがいちばん大きく見える向きを選んだもの、それが第1主成分の固有ベクトルです。
具体的に考えてみましょう。たとえば、たくさんの人の「身長」と「体重」のデータを点で表すと、右上がりの楕円（だえん）のような雲ができます。背が高い人は体重も重い傾向があるからです。
この点の雲を見ると、「右上から左下へ」と伸びる方向に、いちばん長くバラついています。この「いちばん長く伸びている方向を指す矢印」が、第1主成分の固有ベクトルです。データが最も広がっている＝お宝が最も多い方向、というわけです。
固有ベクトルは「方位磁石（コンパス）の針」のようなものです。コンパスが北を指すように、固有ベクトルは「情報がいちばん多い方向」を指してくれます。針の向きそのものが大事で、針の長さは関係ありません（だから固有ベクトルは長さ1に揃えて表すのが普通です）。
固有ベクトルは「向き」だけを教えてくれます。「その方向にどれだけお宝があるか（量）」は教えてくれません。量を教えてくれるのは、次に出てくる固有値です。向き＝固有ベクトル、量＝固有値。この役割分担を覚えておくと、もう混乱しません。
固有値とは「その方向に眠るお宝の量」
次が、いちばん大事な固有値です。固有値（こゆうち）とは、「固有ベクトルが指す方向に、どれだけお宝（情報＝バラつき）が眠っているか」を表す数字です。
固有値＝その主成分（軸）が持っている情報量（＝分散の大きさ）。固有値が大きいほど、その方向にたくさんのお宝が眠っている、つまり大事な軸だ、ということです。
固有値は、難しい言葉で言うと「その方向に沿って測ったときのデータの分散（バラつき）」そのものです。先ほどの身長・体重の例で言えば、点の雲が右上から左下へ「どれだけ長く伸びているか」、その長さの大きさが固有値にあたります。
固有値と固有ベクトルは、いつもペアで出てきます。「この方向（固有ベクトル）に、これだけのお宝（固有値）があります」と、セットで情報を教えてくれるのです。
主成分分析では、固有値の大きい順に「第1主成分」「第2主成分」…と番号をつけます。いちばんお宝が多い方向が第1主成分、その次が第2主成分、という具合です。
固有ベクトルが「お宝のある方向を指すコンパスの針」なら、固有値は「その方向を掘ったときに出てくる金貨の枚数」です。針が3本あっても、金貨が100枚出る方向と、3枚しか出ない方向があります。だから私たちは、金貨（固有値）が多い方向を優先して使うのです。
寄与率とは「その軸が全体の情報の何割か」
固有値がわかると、いよいよ寄与率が理解できます。寄与率（きよりつ）とは、「その主成分が、全体の情報のうち何割を説明しているか」を表す割合です。
固有値はそのまま見ても「2.5って、大きいの？小さいの？」とピンときません。そこで、全体を100%として「割合」に直すと、一気にわかりやすくなります。それが寄与率です。
ある主成分の寄与率 ＝ その主成分の固有値 ÷ すべての固有値の合計
分数で書くと、こうなります。
固有値の合計が「ホールケーキ1個（＝全体の情報）」だと思ってください。寄与率は「そのケーキを切り分けたとき、この主成分が何切れ分（何%分）か」を表します。大きく切り分けられた主成分ほど、たくさんの情報を持っている、というわけです。
すべての主成分の寄与率を足すと、必ず100%（1.0）になります。情報という1つのケーキを、すべての主成分で分け合っているからです。
具体例で寄与率を計算してみる（途中式つき）
言葉だけだとフワッとするので、実際に数字を入れて計算してみましょう。むずかしくありません。割り算ができれば大丈夫です。
いま、3つの変数（たとえば「身長・体重・座高」）を主成分分析したところ、3つの固有値が次のように出たとします。
| 主成分 | 固有値 |
|---|---|
| 第1主成分 | 2.5 |
| 第2主成分 | 1.2 |
| 第3主成分 | 0.3 |
まず、固有値を全部足して「合計（＝ケーキ全体）」を出します。
2.5 ＋ 1.2 ＋ 0.3 ＝ 4.0
これが情報の全体量です。
第1主成分の寄与率を計算します。公式は「固有値 ÷ 合計」でした。
2.5 ÷ 4.0 ＝ 0.625 → 62.5%
つまり、第1主成分だけで全体の情報の6割以上を説明できています。
同じやり方で、第2・第3主成分も計算します。
第2主成分：1.2 ÷ 4.0 ＝ 0.30 → 30%
第3主成分：0.3 ÷ 4.0 ＝ 0.075 → 7.5%
3つの寄与率を足してみます。
62.5% ＋ 30% ＋ 7.5% ＝ 100%
ちゃんと100%になりました。計算が合っている証拠です。
この例では、第1主成分が62.5%、第2主成分が30%の情報を持っています。第3主成分はたった7.5%。お宝のほとんどが、最初の2つの軸に詰まっている、ということが数字でハッキリわかりました。
累積寄与率で「軸をいくつ使うか」を決める
寄与率がわかると、最後の累積寄与率（るいせききよりつ）はとても簡単です。累積寄与率とは、「寄与率を大きい順に、上から足していった合計」のことです。「累積」とは「だんだん積み重ねる」という意味です。
累積寄与率＝「ここまでの主成分を使えば、全体の情報の何割をカバーできるか」を示す数字。これを見て、「軸をいくつまで使えば十分か」を決めます。
さきほどの例（62.5%・30%・7.5%）で、累積寄与率を計算してみましょう。上から順に足していくだけです。
| 主成分 | 寄与率 | 累積寄与率 |
|---|---|---|
| 第1主成分 | 62.5% | 62.5% |
| 第2主成分 | 30% | 62.5＋30＝92.5% |
| 第3主成分 | 7.5% | 92.5＋7.5＝100% |
この表から、第2主成分までで累積寄与率が92.5%になることがわかります。これは「最初の2つの軸だけで、元のデータの情報の9割以上を表現できている」という意味です。
3つあった変数を2つの軸にまとめても、ほとんど情報が失われていない。だから「第3主成分は捨てて、2つの軸だけで分析しよう」と判断できるのです。これが主成分分析の最大の目的——「たくさんの変数を、少ない軸にギュッとまとめる」ことの正体です。
「累積寄与率が何%あれば十分か」に絶対のルールはありませんが、実務では70%〜80%以上を1つの目安にすることが多いです。グラフ化したいなら、第2主成分までで80%を超えていれば、平面（2軸）で十分にデータを語れます。
初心者がつまずく3つのポイント
最後に、多くの人が混乱しやすいところを先回りして整理しておきます。ここを押さえれば、もう迷いません。
①「固有値」と「固有ベクトル」の役割を混同する
固有ベクトル＝向き
- お宝のある「方向」を指す矢印
- 主成分の「軸の向き」
- 長さは1に揃える
固有値＝量
- その方向にある「お宝の量」
- その軸が持つ「情報量＝分散」
- 大きいほど重要な軸
「向き＝ベクトル、量＝値」とセットで覚えてしまえば、もう取り違えません。
②「寄与率」と「累積寄与率」を取り違える
寄与率は「その軸 1本だけ」の割合です。累積寄与率は「上からそこまでを足した合計」です。第2主成分の寄与率が30%でも、累積寄与率は92.5%（第1の62.5%を含む）になります。「単体」か「積み重ね」か、で区別してください。
③ 固有値が大きいほど良い、と決めつける
固有値が大きい主成分は「情報をたくさん持つ軸」ではありますが、「分析の目的にとって意味がある軸」とは限りません。たとえば第1主成分がただの「全体の大きさ（規模）」を表しているだけ、というケースもあります。固有値・寄与率は「どの軸を残すか」の目安にしつつ、その軸が実際に何を意味しているかは、固有ベクトルの中身（どの変数が効いているか）を見て解釈する必要があります。
よくある質問（FAQ）
まとめ：4つの言葉を宝探しで覚える
- 固有ベクトル＝お宝（情報）が眠る「方向」を指す矢印。主成分の軸の向き。
- 固有値＝その方向に眠る「お宝の量」。その軸が持つ情報量（分散）。大きいほど重要。
- 寄与率＝その軸が全体の情報の何割かの割合。「固有値 ÷ 固有値の合計」で計算。
- 累積寄与率＝寄与率を上から足した合計。「軸をいくつ使えば十分か」を決める目安。
むずかしそうに見えた4つの言葉も、「宝探し」のたとえに置き換えれば、それほど怖くありません。方向（固有ベクトル）と量（固有値）をセットで見つけ、量を割合に直したものが寄与率、それを積み上げたものが累積寄与率。この流れさえつかめば、主成分分析の数字は読めるようになります。
数字の意味がわかったら、次は「その軸が結局なにを表しているのか」を読み解く段階です。固有ベクトルの中身（因子負荷量）や、各データの位置（主成分得点）を学ぶと、主成分分析が一気に使える道具になります。
自動車部品メーカーで電気設計・品質保証に携わってきた経験をもとに執筆しています。むずかしい専門用語をできるだけ使わず、はじめて統計を学ぶ人がつまずかないように、図とたとえで説明することを大切にしています。
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