目次
はじめに
前回は「平均値」の奥深い世界を学びましたが、データの特徴を表す代表値は平均だけではありません。「中央値」と「最頻値」という、平均とは全く異なる性質を持つ代表値があるんです。
例えば、「日本人の平均年収は約440万円」と聞いても、実際に440万円前後の年収の人はそれほど多くないかもしれません。なぜなら、一部の高収入者が平均を押し上げているからです。こんな時、「真ん中の人の年収」や「最も多い年収帯」を知る方が、実態をよく表していることがあります。
今日は、データの「真ん中」を表す中央値と、「最も多い値」を表す最頻値について、その計算方法から使い分けまで詳しく学んでいきましょう。
中央値：データの「真ん中」
中央値とは何か
**中央値（メディアン）**は、データを大小順に並べた時に、ちょうど真ん中に位置する値です。データ全体を「下半分」と「上半分」に分ける境界線と考えてください。
中央値の計算方法
データの個数が奇数個の場合
例：テストの点数（5人）
生データ：82, 67, 91, 75, 88
1. 大小順に並べる：67, 75, 82, 88, 91
2. 真ん中（3番目）の値：82点
中央値 = 82点
データの個数が偶数個の場合
例：テストの点数（6人）
生データ：82, 67, 91, 75, 88, 79
1. 大小順に並べる：67, 75, 79, 82, 88, 91
2. 真ん中2つ（3番目と4番目）の平均：(79 + 82) ÷ 2 = 80.5点
中央値 = 80.5点
中央値の特徴
長所
- 外れ値に影響されにくい
- 分布の形に関係なく計算できる
- 直感的に理解しやすい（「真ん中の人」）
短所
- すべてのデータの値を活用していない
- 数学的操作（加減乗除）には向かない
身近な例：年収の中央値
10人の年収データ（万円）：
300, 350, 380, 400, 450, 480, 520, 600, 800, 3000
算術平均：728万円（高所得者の影響）
中央値：465万円（6番目と7番目の平均）
「平均年収728万円」よりも「年収中央値465万円」の方が、一般的な年収を表していますね。
最頻値：最も「人気」な値
最頻値とは何か
**最頻値（モード）**は、データの中で最も頻繁に現れる値です。「一番人気の値」と考えると分かりやすいでしょう。
最頻値の見つけ方
例：靴のサイズ販売データ
| サイズ | 販売数 |
|---|---|
| 23.0cm | 5足 |
| 23.5cm | 8足 |
| 24.0cm | 15足 |
| 24.5cm | 12足 |
| 25.0cm | 7足 |
| 25.5cm | 3足 |
最頻値 = 24.0cm（最も多く売れたサイズ）
最頻値の種類
1. 単峰性（モードが1つ） 上記の靴のサイズのように、1つの値が明確に最も多い場合
2. 二峰性（モードが2つ）
例：通勤ラッシュの電車利用者数
7:30 → 150人
8:00 → 250人（朝のピーク）
8:30 → 180人
17:30 → 120人
18:00 → 240人（夕方のピーク）
18:30 → 200人
モード：8:00と18:00（2つのピーク）
3. 多峰性（モードが3つ以上） 複数の値が同じ頻度で最大値を取る場合
4. モードなし すべての値の頻度が同じ場合
最頻値の特徴
長所
- 名義尺度でも使用可能（唯一の代表値）
- 実際に存在するデータ値
- 「最も典型的」な値を表す
短所
- データによってはモードが存在しない
- 複数のモードが存在することがある
- 計算には使いにくい
代表値の比較
3つの代表値の関係
分布の形によって、平均値・中央値・最頻値の位置関係が変わります。
正規分布（左右対称）
最頻値 = 中央値 = 平均値
右に歪んだ分布（正の歪み）
最頻値 < 中央値 < 平均値
例：年収分布
- 最頻値：350万円（最も多い年収帯）
- 中央値：400万円（真ん中の人の年収）
- 平均値：500万円（高所得者に引っ張られる）
左に歪んだ分布（負の歪み）
平均値 < 中央値 < 最頻値
例：試験の点数分布（難易度が低い場合）
- 平均値：82点（少数の低得点者に引っ張られる）
- 中央値：88点
- 最頻値：95点（最も多い得点）
分布の形による代表値の選び方
正規分布に近い場合
特徴：左右対称、釣鐘型 適切な代表値：平均値 理由：3つの代表値がほぼ同じ値になり、平均値が最も効率的
例：身長データ
男性の身長（成人）は正規分布に近い
→ 平均身長が最も適切な代表値
右に歪んだ分布の場合
特徴：少数の極端に大きい値が存在 適切な代表値：中央値 理由：平均値は外れ値に引っ張られ、実態を表さない
例：
- 年収・資産
- 企業の売上
- ウェブサイトのアクセス数
- 都市の人口
左に歪んだ分布の場合
特徴：少数の極端に小さい値が存在 適切な代表値：中央値または最頻値 理由：平均値は低い方に引っ張られる
例：
- 製品の寿命（多くは長持ち、一部は早期故障）
- 試験の高得点分布
- 反応時間（多くは短時間、一部は遅延）
名義尺度データの場合
唯一の選択肢：最頻値 理由：順序や数値計算に意味がないため
例：
- 好きな色：赤、青、緑、黄...
- 血液型：A、B、O、AB
- 出身地：東京、大阪、名古屋...
実践的な使い分け
ケーススタディ1：不動産価格
マンション価格（万円）：
2800, 3200, 3500, 3800, 4000, 4200, 4500, 8000
算術平均：4250万円
中央値：3900万円
最頻値：なし（すべて異なる）
結論：中央値（3900万円）が「一般的な価格」を最もよく表す
ケーススタディ2：レストランの評価
★の評価分布：
★☆☆☆☆：2件
★★☆☆☆：5件
★★★☆☆：8件
★★★★☆：25件
★★★★★：10件
平均：3.72★
中央値：4★
最頻値：4★
結論：最頻値（4★）が「最も典型的な評価」を表す
ケーススタディ3：通勤時間
通勤時間（分）：
20, 25, 30, 30, 35, 35, 35, 40, 45, 90
平均：38.5分
中央値：35分
最頻値：35分
結論：中央値または最頻値（35分）が実態に近い
代表値選択のガイドライン
目的別の選び方
| 目的 | 適切な代表値 | 理由 |
|---|---|---|
| 予算計画 | 平均値 | 総額の計算に必要 |
| 一般的な値を知りたい | 中央値 | 外れ値の影響を避ける |
| 最も典型的な値 | 最頻値 | 実際に多く存在する値 |
| 数学的計算 | 平均値 | 加減乗除が可能 |
データの性質別の選び方
| データの性質 | 第1選択 | 第2選択 |
|---|---|---|
| 正規分布 | 平均値 | 中央値 |
| 右歪み | 中央値 | 最頻値 |
| 左歪み | 中央値 | 最頻値 |
| 名義尺度 | 最頻値 | なし |
| 外れ値あり | 中央値 | 最頻値 |
複数の代表値を同時に報告する
実際の分析では、複数の代表値を同時に報告することで、データの特徴をより正確に伝えることができます。
報告例
「当社の従業員年収について分析した結果：
- 平均年収：520万円
- 年収中央値：450万円
- 最頻年収帯：400-450万円
平均値が中央値より高いことから、一部の高収入者により
平均が押し上げられていることが分かります。
一般的な従業員の年収は450万円程度と考えられます。」
まとめ
代表値は「平均だけ」では不十分です。データの性質と分析の目的に応じて、中央値や最頻値を適切に使い分けることが重要です。
今日のポイント
✅ 中央値：データの真ん中、外れ値に強い
✅ 最頻値：最も頻繁な値、名義尺度でも使用可能
✅ 分布の形：歪みがある場合は中央値が適切
✅ 複数報告：複数の代表値で全体像を把握
✅ 目的に応じた選択：予算計画なら平均、実態把握なら中央値
次回は「分散と標準偏差」について学びます。データの「ばらつき」を数値化する方法と、その実践的な活用法を詳しく解説していきます！
