はじめに 😊
こんにちは！統計学基礎講座へようこそ 🎉
今日は「カイ二乗分布（χ²分布）」について学んでいきましょう！
「カイ二乗？なんだか難しそう...」と思ったあなた、大丈夫です！😊
実は、カイ二乗分布は私たちの身の回りでとても活躍している分布なんです。
例えば：
- アンケート結果の分析 📊 → 「男女で意見に差があるか？」
- 製品の品質管理 🏭 → 「バラつきが基準内に収まっているか？」
- サイコロの公平性 🎲 → 「本当に各面が1/6の確率で出るか？」
これらの疑問に答えてくれるのが「カイ二乗分布」なんです！
今回は、この不思議な名前の分布が、どんな場面で、どのように私たちを助けてくれるのかを、身近な例を交えながら楽しく学んでいきましょう 🌟
カイ二乗分布って何？ 🤔
分布の定義と特徴
カイ二乗分布とは：
分散や適合性を調べる時に使う、右に偏った形の確率分布
特徴：
なぜ「カイ二乗」という名前？ 📚
「カイ二乗」は χ²（ギリシャ文字のカイの二乗）から来ています。
歴史的背景：
- 1900年頃、イギリスの統計学者カール・ピアソンが発見
- 「観測値」と「期待値」の差を二乗して足し合わせる
- その合計値が従う分布として生まれました
身近な例で理解： サイコロを60回振って、各面の出現回数を調べる場合：
| 面 | 期待回数 | 実際の回数 | 差 | 差の二乗 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 10 | 8 | -2 | 4 |
| 2 | 10 | 12 | +2 | 4 |
| 3 | 10 | 9 | -1 | 1 |
| 4 | 10 | 11 | +1 | 1 |
| 5 | 10 | 10 | 0 | 0 |
| 6 | 10 | 10 | 0 | 0 |
カイ二乗値 = (4 + 4 + 1 + 1 + 0 + 0) ÷ 期待値 = 1.0
この値が「カイ二乗分布」に従うんです！ ✨
自由度による形状変化 📊
自由度って何？
カイ二乗分布の自由度：
独立して変動できる値の個数
計算方法：
- 適合度検定：自由度 = カテゴリ数 - 1
- 分散の推定：自由度 = データ数 - 1
自由度による形の変化 📈
自由度が小さい場合（df = 1, 2）：
- 📊 極端に右に偏った形
- 🔸 0付近で最も高い値
- 📉 急激に減少する曲線
自由度が中程度の場合（df = 3〜10）：
- 📊 やや右に偏った形
- 🔸 ピークが右に移動
- 📈 なだらかな山型に近づく
自由度が大きい場合（df ≥ 30）：
- 📊 正規分布に近い形
- 🔸 左右がほぼ対称
- 📈 ベル型に近づく
身近な例で理解 🎯
例1：コイン投げ（自由度1）
- 表か裏の2択 → 自由度 = 2 - 1 = 1
- 極端に偏った分布
例2：サイコロ（自由度5）
- 6つの面 → 自由度 = 6 - 1 = 5
- やや偏った分布
例3：アンケート調査（自由度9）
- 10択の質問 → 自由度 = 10 - 1 = 9
- 比較的なだらかな分布
分散の推定への応用 📐
なぜ分散の推定にカイ二乗分布？
分散は「データのバラつき」を表す重要な指標です。
でも、「このバラつきは正常範囲内？」を判断するには、比較する基準が必要ですよね 🤔
そこで登場するのがカイ二乗分布！
具体例：パン屋さんの品質管理 🍞
設定： あなたはパン屋さんを経営しています。 食パンの重さは「500g±10g」が目標です。
1週間の測定結果（g）： 495, 502, 498, 505, 493, 507, 490, 501, 496, 504
Step 1: 標本分散の計算 📝
平均 = (495 + 502 + ... + 504) ÷ 10 = 499.1g
各データの偏差の二乗：
(495-499.1)² = 16.81
(502-499.1)² = 8.41
...（中略）...
(504-499.1)² = 24.01
標本分散 s² = Σ(xi - x̄)² ÷ (n-1)
= 150.9 ÷ 9 = 16.77
Step 2: カイ二乗統計量の計算 📊
χ² = (n-1) × s² / σ₀²
= 9 × 16.77 / 10²
= 150.9 / 100
= 1.509
Step 3: 判定 🎯
- 自由度9のカイ二乗分布で判定
- 95%信頼区間：2.700〜19.023
- 1.509は範囲内 → 品質は良好！ ✅
実用的な判定表 📋
| 自由度 | 5%点 | 95%点 | 実用的な意味 |
|---|---|---|---|
| 5 | 1.145 | 11.07 | 小規模テスト（6個のデータ） |
| 9 | 2.700 | 16.92 | 品質管理（10個のデータ） |
| 19 | 8.907 | 30.14 | 製品検査（20個のデータ） |
| 29 | 16.05 | 42.56 | 大規模調査（30個のデータ） |
判定方法 💡：
- χ²値が 5%点より小さい → バラつきが少なすぎる ⚠️
- χ²値が 5%〜95%点の間 → バラつきは正常範囲 ✅
- χ²値が 95%点より大きい → バラつきが大きすぎる ⚠️
適合度検定への導入 🎲
適合度検定って何？
適合度検定とは：
「観測されたデータが、期待される分布に合っているか？」を調べる方法
身近な例：
- 🎲 サイコロは本当に公平？（各面1/6の確率？）
- 📊 アンケートの回答に偏りはない？
- 🚗 交通量は曜日によって違う？
具体例：カフェの曜日別客数分析 ☕
設定： あなたのカフェに「どの曜日も同じくらいお客さんが来る」という仮説があります。 本当でしょうか？
1週間の来客数データ：
| 曜日 | 実際の来客数 | 期待来客数 | 差 | 差の二乗 | χ²成分 |
|---|---|---|---|---|---|
| 月曜 | 45 | 50 | -5 | 25 | 0.50 |
| 火曜 | 42 | 50 | -8 | 64 | 1.28 |
| 水曜 | 48 | 50 | -2 | 4 | 0.08 |
| 木曜 | 52 | 50 | +2 | 4 | 0.08 |
| 金曜 | 65 | 50 | +15 | 225 | 4.50 |
| 土曜 | 71 | 50 | +21 | 441 | 8.82 |
| 日曜 | 67 | 50 | +17 | 289 | 5.78 |
計算：
期待来客数 = 総来客数 ÷ 7日
= (45+42+48+52+65+71+67) ÷ 7
= 350 ÷ 7 = 50人
χ² = Σ[(観測値-期待値)² ÷ 期待値]
= 0.50 + 1.28 + 0.08 + 0.08 + 4.50 + 8.82 + 5.78
= 21.04
判定 🎯：
- 自由度 = 7 - 1 = 6
- χ²(6, 0.05) = 12.59
- 21.04 > 12.59 → 有意差あり
結論 📝： 「どの曜日も同じ」という仮説は棄却！ 週末（金土日）は明らかに忙しいですね ✨
適合度検定の判定基準 📊
| 自由度 | 95%信頼区間の臨界値 | 実用例 |
|---|---|---|
| 1 | 3.84 | 2択質問（性別、賛否など） |
| 2 | 5.99 | 3択質問（好き、普通、嫌い） |
| 3 | 7.81 | 4択質問（春夏秋冬など） |
| 5 | 11.07 | サイコロ検定（6面） |
| 9 | 16.92 | 10択アンケート |
実用的な解釈 💡：
- χ²値 < 臨界値 → 期待通り ✅（仮説を受容）
- χ²値 ≥ 臨界値 → 期待と違う ⚠️（仮説を棄却）
様々な場面での活用例 🌟
1. マーケティング調査 📈
シチュエーション： 「新商品への男女の関心度に差があるか？」
カイ二乗分布の活用：
- アンケート結果の男女比較
- 「関心あり/なし」の関連性を検定
- マーケティング戦略の科学的根拠
2. 医療・薬事分野 💊
シチュエーション： 「新薬の効果は年齢層によって違うか？」
カイ二乗分布の活用：
- 「効果あり/なし」と「年齢層」の関連分析
- 副作用の発現パターン調査
- 安全性評価の統計的裏付け
3. 製造業の品質管理 🏭
シチュエーション： 「製造ラインAとBで不良率に差があるか？」
カイ二乗分布の活用：
- 不良品の発生パターン分析
- 製造条件と品質の関連性調査
- 品質改善の方向性決定
4. 教育分野 📚
シチュエーション： 「クラスによって成績分布に差があるか？」
カイ二乗分布の活用：
- 成績（優良可）の分布比較
- 教育方法の効果測定
- 教育改善の客観的評価
5. ゲーム・エンターテイメント 🎮
シチュエーション： 「ガチャの排出率は表示通りか？」
カイ二乗分布の活用：
- レアリティ別の排出回数分析
- 確率表示の透明性確保
- ユーザーの信頼性向上
カイ二乗分布の使い分けガイド 📋
どんな時にカイ二乗分布を使う？
| 分析の目的 | 使う場面 | 使わない場面 |
|---|---|---|
| 分散の検定 | ✅ バラつきの評価 | ❌ 平均値の比較 |
| 適合度検定 | ✅ 期待値との比較 | ❌ 2群間の平均比較 |
| 独立性検定 | ✅ カテゴリ間の関連 | ❌ 連続値の相関 |
| 品質管理 | ✅ 規格内のバラつき | ❌ 規格値との差 |
他の分布との使い分け 🔄
| 分析内容 | 使う分布 | 理由 |
|---|---|---|
| 平均値の推定 | t分布 | 小標本での平均値 |
| 分散の推定 | カイ二乗分布 | バラつきの評価 |
| 比率の推定 | 正規分布 | 大標本での比率 |
| カテゴリの関連 | カイ二乗分布 | 適合度・独立性 |
注意すべきポイント ⚠️
データの条件：
- ✅ カテゴリデータ（質的データ）
- ✅ 各セルの期待度数は5以上
- ✅ 独立したサンプル
よくある間違い ❌：
- 連続データをそのまま使用
- 期待度数が小さすぎる（<5）
- サンプルが独立していない
まとめ 🎯
今回学んだこと 📚
- カイ二乗分布の基本 📊
- 分散と適合性を調べる分布
- 右に偏った形、値は0以上
- 自由度によって形が変化
- 分散の推定 📐
- バラつきが正常範囲かを判定
- 品質管理に大活躍
- (n-1)s²/σ²がカイ二乗分布に従う
- 適合度検定 🎲
- 期待値と観測値の比較
- カテゴリデータの分析
- χ² = Σ[(観測-期待)²/期待]
- 実用的な活用 🌟
- マーケティング、医療、製造業
- 教育、エンターテイメント
- データドリブンな意思決定
最後に 💭
カイ二乗分布は「期待と現実のギャップ」を数値化してくれる、とても実用的な分布です 📊
「なんとなく違う気がする...」 「本当に差があるのかな？」
そんな日常の疑問に、統計学は客観的な答えをくれるんです。
データに語らせる。これが統計学の醍醐味ですね！ ✨