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ある工程で、1日の不良が0個の日が60%、1個が25%、2個が10%、3個が5%。平均すると1日何個の不良が出るか。答えは 0.60個 です。
答え期待値とは、同じことを何度もくり返したときの1回あたりの平均で、「とりうる値×その確率」を全部足して求めます。サイコロの目なら (1＋2＋…＋6)×1/6＝3.5。期待値だけでは散らばりがわからないので、分散 V(X)＝E(X²)−{E(X)}² とセットで使います。
期待値の求め方｜値×確率を全部足す2ステップ
STEP 1 表を作る
とりうる値と、その確率を並べる（確率の合計が1になるか確かめる）
| 1日の不良の数 x | 0 | 1 | 2 | 3 | 合計 |
|---|
| 確率 p | 0.60 | 0.25 | 0.10 | 0.05 | 1.00 |
| x×p | 0 | 0.25 | 0.20 | 0.15 | 0.60（期待値） |
期待値E(X) ＝ Σ x × P(X＝x)連続の量なら、x×確率密度を積分する
期待値 0.60個は「0.6個の不良が出る日がある」という意味ではありません。何日もくり返すと、1日あたり平均0.6個になる、という意味です。20日なら約12個。
期待値と平均値の違い、期待値の公式
平均値は手元のデータの平均、期待値は確率分布の平均です。データを何度もとると、平均値は期待値に近づきます。
| 公式 | 意味 | 例（E(X)＝0.60） |
|---|
| E(aX＋b)＝aE(X)＋b | 定数倍・定数の足し算はそのまま | E(2X＋3)＝2×0.60＋3＝4.2 |
| E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y) | 和の期待値は期待値の和（独立でなくても成り立つ） | 2つのラインの不良の合計 |
| E(XY)＝E(X)E(Y) | X と Y が独立のときだけ | — |
期待値の足し算は、独立でなくても成り立ちます。分散の足し算が独立のときだけなのと対照的です。平均値の種類については平均値の4つの種類で説明しています。
期待値と分散の関係｜V(X)＝E(X²)−{E(X)}²
分散は、期待値からのずれの2乗の期待値です。計算は V(X)＝E(X²)−{E(X)}² の形が楽です。
STEP 1 E(X²)
0²×0.60＋1²×0.25＋2²×0.10＋3²×0.05＝0＋0.25＋0.40＋0.45＝1.10
STEP 2 分散
1.10−0.60²＝1.10−0.36＝0.74
| 公式 | 例 |
|---|
| V(aX＋b)＝a²V(X) | V(2X＋3)＝4×0.74＝2.96（＋3 はばらつきを変えない） |
| V(X＋Y)＝V(X)＋V(Y) | X と Y が独立のとき |
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期待値・分散の計算ツール
1行に1つずつ「値 確率」を入れてください（例：3 0.2）。確率のかわりに回数（度数）を入れてもかまいません。合計が1でないときは、度数として割合に直して計算します。
入力すると、その場で計算し直します。入力した数字は画面の中で計算するだけで、どこにも送信されません。確率は 1/6・0.5・50% のどの書き方でも入れられます。
期待値はどこで使う？品質管理での使い方
期待値は、くり返し起きることの損得や量を、1回あたりにならして比べるときに使います。不良による損失、検査のコスト、部品の在庫の見積もりなどです。
例：不良1個の損失が800円なら、損失の期待値は 0.60×800＝480円/日。対策に1日300円かかって不良が半分になるなら、損失は240円減るので、差し引きでは損になる計算です。
筆者なら、期待値で判断するときは必ず分散（標準偏差）を並べて見ます。理由は、平均0.6個でも3個出る日が5%あり、その日に受け入れの検査や手直しの人手が足りるかは、期待値だけでは決まらないからです。
品質保証の現場でよく起きるのは、期待値だけで手直しの人員や予備の部品の数を決め、ばらつきの大きい日にあふれる型です。人員や在庫は「期待値＋α」で決め、α の大きさを分散から見積もります。
代表的な確率分布の期待値と分散
よく使う分布の期待値と分散は、公式として覚えておくと計算が速くなります。
| 分布 | 期待値 | 分散 |
|---|
| サイコロ（一様分布） | 3.5 | 35/12 |
| 二項分布（n 個中の不良品） | np | np(1−p) |
| ポアソン分布（欠点の数） | λ | λ |
| 正規分布 | μ | σ² |
二項分布の np は「1個あたりの期待値 p を n 個分足したもの」で、期待値の足し算そのものです。欠点の数はポアソン分布、寸法は正規分布の記事で扱っています。
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QC検定での期待値の出方
QC検定の手法の問題では、確率の表から期待値と分散を計算させる形と、E(aX＋b)・V(aX＋b) の公式を使う形がよく見られます。
- 期待値は値×確率の合計。確率の合計が1かを先に確かめる
- 分散は E(X²)−{E(X)}²
- V(aX＋b)＝a²V(X)。b は分散に効かない
- 組立品の平均は期待値の足し算、分散は分散の足し算
級ごとの出題範囲は、日本規格協会の「品質管理検定レベル表」で確かめてください。確認しようとした時点では公式のページが保守中で開けなかったため、この記事では級を断定していません。
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よくある質問
Q. 期待値とは簡単にいうと？
A. 何度もくり返したとき、1回あたり平均してどんな値になるかの見こみです。値×確率をすべて足して求めます。
Q. 期待値の公式は？
A. E(X)＝Σxᵢpᵢ です。とりうる値それぞれに、その値が出る確率をかけて、すべて足します。
Q. サイコロの期待値はなぜ3.5？
A. 1〜6の目がどれも1/6の確率で出るので、(1＋2＋3＋4＋5＋6)÷6＝3.5になります。3.5の目はなくても平均の見こみです。
Q. 期待値と平均値の違いは？
A. 平均値は実際のデータから、期待値は確率から求めます。データを多く集めると、平均値は期待値に近づきます。
Q. 期待値と分散の関係は？
A. 期待値は中心、分散はばらつきです。V(X)＝E(X²)−{E(X)}²で、期待値から分散を求められます。
まとめ｜期待値は「値×確率」の合計
- 期待値＝くり返したときの1回あたりの平均。Σ値×確率
- 例：不良数の期待値 0.60個、分散 0.74（E(X²)＝1.10）
- E(aX＋b)＝aE(X)＋b、V(aX＋b)＝a²V(X)
- 判断には分散をセットで。期待値だけで人員や在庫を決めない
参考にした資料
（2026年10月に確認）
法令・規格・資料は改訂されることがあります。実務で使うときは、発行元の最新版で確かめてください。
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電験三種・QC検定1級 / メーカーでパワエレ設計・品質保証 実務10年
メーカーで電気設計と品質保証に携わってきた経験をもとに執筆しています。むずかしい専門用語をできるだけ使わず、はじめて学ぶ人がつまずかないように、図とたとえで説明することを大切にしています。
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