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この記事で解決できる悩み
○「温度を50℃・70℃・90℃の3段階で試したいけど、L4やL8は2水準しか扱えない…」
○「材料を3種類、時間を4段階で実験したい。どうすればいい？」
○「多水準直交表って聞いたことあるけど、何がどう違うの？」
この記事を読むとわかること
○ 多水準直交表とは何か？（定義と基本の考え方）
○ 2水準だけでは足りない理由
○ L9・L18といった代表的な多水準直交表の特徴
○ 多水準直交表を使う際の注意点
はじめに：2水準だけでは現実の実験に対応できない！
これまで「L4直交表・L8直交表の使い方」で学んだように、直交配列表を使えば少ない試行回数で効率的に実験できます。
しかし、L4やL8は「2水準因子」（例：ON/OFF、低温/高温）にしか対応していません。
実際の現場では、こんな実験が必要になりませんか？
温度を「50℃」「70℃」「90℃」の3水準で比較したい
⏱ 時間を「5分」「10分」「15分」「20分」の4水準で調べたい
材料を「材質A」「材質B」「材質C」の3種類で試したい
このように「2水準では表現できない因子」を扱うときに必要なのが、多水準直交表です！
この記事では、多水準直交表の基本から代表的な表（L9、L18）の特徴、使い方の注意点まで、初心者にもわかりやすく解説します。
1. 多水準直交表とは？
定義をシンプルに理解する
多水準直交表とは
各因子に対して、2水準以上（3水準、4水準など）の条件を設定できる直交配列表のことです。
例えば、温度を「50℃」「70℃」「90℃」の3種類で比較したい場合、2水準（低/高）だけでは中間の条件を捉えられません。
このとき、3水準を扱える直交表が必要になります。それが多水準直交表です。
2水準直交表との違い
| 項目 | 2水準直交表（L4、L8など） | 多水準直交表（L9、L18など） |
|---|---|---|
| 水準数 | 各因子2水準のみ | 各因子3水準以上も可能 |
| 使える場面 | ON/OFF、低/高など2択の比較 | 温度（50/70/90℃）など中間条件も必要な場合 |
| 代表例 | L4、L8、L16 | L9、L18、L27 |
実験計画法の全体像を理解すると、どの場面でどの直交表を使うべきかがわかります。
2. なぜ多水準直交表が必要なのか？
現場の実験は「2択」だけでは済まない
実際の現場では、以下のような状況が頻繁に発生します。
ケース1：最適な条件が中間にある可能性
温度「50℃」と「90℃」だけ試して、実は「70℃」が最適だったら…？中間条件を調べないと最適解を見逃します。
ケース2：段階的な変化を知りたい
「低」「中」「高」の3段階で効果がどう変わるかを知ることで、より詳細な主効果の分析が可能になります。
ケース3：カテゴリ因子が3つ以上
「材料A」「材料B」「材料C」のように、そもそも選択肢が3つ以上ある因子は2水準では表現できません。
つまり、現実の複雑な実験条件に対応するには、多水準直交表の知識が必須なのです！
実験で交互作用が重要な場合も、多水準で調べることで詳細な分析が可能になります。
3. 代表的な多水準直交表
【代表例1】L9直交表（3水準）
【具体例】
温度（50℃、70℃、90℃）、時間（5分、10分、15分）、材料（A、B、C）の3因子をそれぞれ3水準で実験したい場合、全組み合わせなら3×3×3=27試行が必要です。
しかしL9直交表を使えば、わずか9試行で主効果を推定できます！
一元配置実験や二元配置実験との違いも理解すると、L9の効率の良さが実感できます。
【代表例2】L18直交表（2水準＋3水準の混合）
L18直交表の特徴
○ 2水準因子と3水準因子を同時に扱える
○ 全18試行で複雑な条件を効率的にまとめられる
○ 現場で非常によく使われる実用的な直交表
○ 最大8因子まで割り付け可能（2水準×1 + 3水準×7など）
【具体例】
以下のような混合条件の実験に最適です。
- 2水準因子：スイッチ（ON/OFF）
- 3水準因子：温度（50℃、70℃、90℃）、時間（5分、10分、15分）
このような混合条件でも、L18なら18試行で効率的に実験できます。
フィッシャーの三原則に基づいて実験を設計すれば、さらに信頼性の高い結果が得られます。
その他の多水準直交表
| 直交表 | 試行回数 | 扱える水準 | 特徴 |
|---|---|---|---|
| L27 | 27回 | 3水準 | 多数の3水準因子を扱う場合に使用 |
| L36 | 36回 | 2水準＋3水準 | L18より多くの因子を扱いたい場合 |
実験計画法の学習マップで、各直交表の使い分けを体系的に学べます。
4. 多水準直交表を使うときの注意点
注意点1：試行回数が増える
水準数が増えると試行回数も増加
L4（4試行）→ L9（9試行）→ L27（27試行）のように、3水準因子を増やすほど試行回数が増えます。コストと時間を事前に見積もりましょう。
繰返しの回数も考慮して、現実的な実験計画を立てることが重要です。
注意点2：交互作用の推定が難しい
注意点3：水準の取り方が結果に影響する
水準の間隔設定が重要
温度を「50℃、55℃、60℃」と狭い範囲で設定するか、「50℃、70℃、90℃」と広く取るかで、得られる知見が変わります。目的に応じた適切な水準設定を心がけましょう。
交絡の恐怖を理解すると、因子の割り付けミスを防げます。
注意点4：解析にはソフトウェアの活用を推奨
多水準直交表の解析は手計算では大変です。MinitabやJMP、Rなどの統計ソフトウェアを活用すると効率的に分析できます。
実験計画法まとめ+確認問題で知識を整理し、実践に備えましょう。
前提知識：「2進数」で住所を作る
いきなり直交表の話をする前に、少しだけ「住所」の話をさせてください。
「1」か「2」しか選べないスイッチが1つあるとします。
これだと、「部屋A（1）」か「部屋B（2）」の2つしか区別できません。
では、スイッチが「2つ」あったらどうでしょう？
2つのスイッチの組み合わせ
- スイッチ1が「1」、スイッチ2が「1」 → 住所①
- スイッチ1が「1」、スイッチ2が「2」 → 住所②
- スイッチ1が「2」、スイッチ2が「1」 → 住所③
- スイッチ1が「2」、スイッチ2が「2」 → 住所④
スイッチ（列）を2つ使うだけで、表現できる場所（水準）が「4つ」に増えましたね。
多水準作成法は、これと全く同じことをL8直交表の上で行うテクニックなのです。
仕組み：L8直交表での割り付け手順
では、実際のL8直交表を使ってやってみましょう。
「第1列」と「第2列」を合体させて、新しい「温度（4水準）」を作ります。
ステップ①：組み合わせ表を作る
第1列と第2列の数字の組み合わせを見て、以下のようにルールを決めます。
| 第1列 | 第2列 | 新しい4水準 | 具体例（温度） |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | → 1 | 100℃ |
| 1 | 2 | → 2 | 120℃ |
| 2 | 1 | → 3 | 140℃ |
| 2 | 2 | → 4 | 160℃ |
ステップ②：実験順序に割り当てる
このルールに従って、L8直交表の「行（実験No.）」ごとに温度を設定します。
- No.1の実験： (1, 1) なので 100℃ で実施。
- No.2の実験： (1, 1) なので 100℃ で実施。
- No.3の実験： (1, 2) なので 120℃ で実施。
- （以下同様）
これで、見かけ上は2水準の表なのに、実態は4水準の実験ができるようになりました。
最大の注意点：コストは「3列分」
「なるほど！じゃあ第1列と第2列を使えばいいんだね！」
と飛びつきたくなりますが、ここで絶対に忘れてはいけないルールがあります。
2つの列（第1列、第2列）を結合すると、その子供である「交互作用の列（第3列）」も自動的に占領されてしまいます。
なぜなら、4水準の自由度は $4-1=3$ です。
直交表の1列あたりの自由度は $1$ なので、4水準因子を作るには「3列分のスペース」が必要になるのです。
消費される列のイメージ
- 第1列： 使用（温度の素①）
- 第2列： 使用（温度の素②）
- 第3列： 使用不可！（温度の一部として吸収される）
つまり、4水準の因子を1つ作ると、L8直交表のほぼ半分（3/7）を使い切ってしまうことになります。
他の因子（圧力や材料）を入れるスペースが減ってしまうので、計画段階で注意が必要です。
解析方法：分散分析表への書き方
実験が終わって解析する時、分散分析表（ANOVA）にはどう書けばいいでしょうか？
簡単です。
使った3つの列（第1, 2, 3列）の平方和 $S$ を全部足し算して、1つの「温度の効果」として扱います。
自由度も $f=3$ になります。
こうすることで、2水準の枠組みを超えて、4段階のグラフ（折れ線グラフ）を描くことができるようになります。
まとめ
○ この記事のポイント
多水準直交表は、2水準以外の因子（3水準、4水準など）を扱うときに使う直交配列表
代表例はL9直交表（3水準）とL18直交表（2水準＋3水準混合）
現場の複雑な実験条件に対応するために必須のツール
試行回数の増加、交互作用推定の難しさ、水準設定の重要性に注意
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