【計算例あり】重回帰モデルの有意性検定｜F₀とF表を比較して判定

「重回帰分析で予測式を作ったけど、これって本当に意味あるの？」

そんな疑問、めちゃくちゃ大事です。

実は、どんなにキレイな回帰式ができても、「たまたま」そう見えているだけかもしれません。説明変数（x）と目的変数（y）に本当は何の関係もないのに、偶然うまくフィットしてしまうことがあるんです。

そこで登場するのが「重回帰モデルの有意性検定」です。

この検定を使えば、「このモデルは偶然じゃない、ちゃんと意味がある！」と統計的に証明できます。

この記事では、F検定の考え方から計算方法、判定基準まで、具体的な数値例を使って徹底解説します。中学生でもわかるように、イメージで説明していきますね。

重回帰モデルの有意性検定とは？

「モデル全体」が役に立つかを判定する検定

重回帰モデルの有意性検定とは、ひとことで言うと「作った予測モデル全体が、そもそも使い物になるのか？」を判定する検定です。

たとえば、あなたが「売上」を予測するために「広告費」と「店舗面積」という2つの変数を使って重回帰モデルを作ったとします。

このとき、こんな疑問が浮かびませんか？

• 広告費と店舗面積は、本当に売上と関係あるの？
• この2つの変数を使うことに意味はあるの？
• もしかして、全部「偶然」じゃない？

この疑問に統計的に答えるのが、有意性検定（F検定）です。

もし「十分に低い」なら、「すべて影響なし」という仮定は間違っている → つまり「少なくとも1つの変数は効いている」と結論できます。

「天気予報」で考えるとわかりやすい

有意性検定のイメージを、天気予報で考えてみましょう。

ある気象予報士が「気温」と「湿度」から「降水確率」を予測するモデルを作りました。

でも、こんな疑問がありますよね。

• 気温と湿度は、本当に降水確率と関係あるの？
• このモデルは「サイコロを振る」より当たるの？

有意性検定は、まさにこの「サイコロより当たるか？」を判定します。

帰無仮説と対立仮説を設定する

統計的検定では、まず「帰無仮説」と「対立仮説」を設定します。

重回帰モデルの有意性検定では、次のように設定します。

つまり、「全部意味なし」を否定できれば、「少なくとも1つは意味あり」と言えるわけです。

F値の考え方｜「説明できた」vs「説明できなかった」

yのバラつきを2つに分解する

F検定の考え方を理解するには、まず「yのバラつきの分解」を知る必要があります。

目的変数yには、当然バラつきがありますよね。売上データなら、高い日もあれば低い日もある。

このバラつき（全体の変動）は、次の2つに分解できます。

要するに、「yがバラつく理由」を「モデルで説明できた分」と「説明できなかった分（残差）」に分けるわけです。

F値は「手柄」と「誤差」の比率

さて、ここからがF検定の核心です。

もしモデルが本当に役に立っているなら、「説明できた変動」が「説明できなかった変動」よりも大きいはずですよね。

この「大きさの比率」を数値化したのがF値です。

ここで「平均平方」という言葉が出てきました。これは「平方和を自由度で割ったもの」です。

なぜ平方和そのままではなく、自由度で割るのか？

それは、変数の数が違うと平方和の大きさが変わってしまうからです。公平に比較するために、自由度で割って「1変数あたりの変動」に揃えるわけです。

F値が大きいほど「モデルは優秀」

F値の意味を整理しましょう。

F値が十分に大きければ、「このモデルは偶然じゃない、ちゃんと意味がある」と判定できます。

では、「十分に大きい」とは具体的にどのくらいでしょうか？

その基準を与えてくれるのがF分布表です。

【計算例】F値を実際に求めてみよう

問題設定：売上を予測するモデル

具体的な数値例で計算してみましょう。

あるお店の売上（y）を、「広告費（x₁）」と「店舗面積（x₂）」で予測するモデルを作りました。

この情報から、F値を計算していきます。

ステップ1：自由度を求める

まず、それぞれの自由度を計算します。

ステップ2：平均平方を求める

次に、平方和を自由度で割って「平均平方」を求めます。

ステップ3：F値を計算する

最後に、F値を計算します。

F値は 30.0 と計算できました。

これが「大きい」のか「小さい」のか、次のステップで判定します。

ステップ4：分散分析表にまとめる

ここまでの計算結果を分散分析表にまとめましょう。

F表と比較して判定する

F分布表の見方

計算したF値（F₀ = 30.0）が「大きい」かどうかを判定するには、F分布表を使います。

F分布表は、次の3つの情報で引きます。

• 有意水準α：通常は 0.05（5%）または 0.01（1%）
• 分子の自由度：回帰の自由度 = 2
• 分母の自由度：残差の自由度 = 12

有意水準5%のF分布表を見ると、φ₁ = 2、φ₂ = 12 のとき：

判定：F₀ > F表 なら「有意」

さあ、いよいよ判定です。

F₀ = 30.0 ＞ F表 = 3.89 なので…

つまり、「広告費と店舗面積は売上と関係ない」という仮説は否定され、「少なくともどちらかは売上に影響を与えている」と結論できます。

決定係数R²との関係

F値と決定係数は「同じこと」を別の角度から見ている

実は、F値と決定係数R²には密接な関係があります。

決定係数R²は「全体の変動のうち、回帰で説明できた割合」でしたね。

このモデルは、売上のバラつきの83.3%を説明できていることになります。

F値が大きい ⇔ R²が大きい、という関係があります。どちらも「モデルの説明力が高い」ことを示していますが、F検定は「統計的に意味があるか」を判定できる点が違います。

まとめ

この記事では、重回帰モデルの有意性検定（F検定）について解説しました。

有意性検定に合格したら、次は「どの変数が効いているか」を調べる「偏回帰係数のt検定」に進みましょう。