【実験計画法】最適水準の選び方と点推定・分散の求め方｜分散分析表の「その後」を完全攻略

• 分散分析表は作れるけど、その後の「最適水準」の選び方がわからない
• 交互作用が有意なときと有意でないときで、水準の選び方が違う？
• 点推定値μ̂の計算式が出てきても、どの値を代入すればいいか迷う
• 「有効繰返し数ne」って何？分散の推定で毎回つまずく…
• 信頼区間の計算まで含めると、もう何が何だかわからない

• 交互作用の有意性で変わる「最適水準の選び方」のルール
• 点推定値μ̂の計算方法を「総平均＋効果の和」でスッキリ理解
• 有効繰返し数neの意味と計算方法
• 分散V(μ̂)と信頼区間の求め方を例題で完全マスター

この記事は「分散分析表の作り方」「F検定」を理解している方向けです。まだ不安な方は、先に以下の記事で基礎を固めてください。

実験計画法の全体像を把握したい方はこちら

分散分析表の作成手順を確認したい方はこちら

分散分析表を作るだけでは「どの因子が効いているか」がわかるだけです。実務や試験で求められるのは、「じゃあ、どの条件で実験すれば最も良い結果が得られるか？」「その結果はどれくらいの精度で予測できるか？」という答えです。Step 3〜5はその答えを出すための計算なのです。

因子A：ルーの種類（A₁=甘口、A₂=辛口）
因子B：肉の種類（B₁=チキン、B₂=ビーフ）

交互作用がない場合：
「辛口ルー（A₂）の方が美味しい」という効果が、肉の種類に関係なく一定。
→ チキンでもビーフでも、辛口の方が美味しい
→ AとBを別々に選んでOK（A₂を選び、Bは単独で最適なものを選ぶ）

交互作用がある場合：
「辛口ルー（A₂）の効果」が、肉の種類によって変わる。
→ チキン＋辛口は微妙だけど、ビーフ＋辛口は最高！
→ AとBをセットで考えないと最適解を見逃す（A₂B₂という組み合わせが最適）

因子A（2水準）と因子B（2水準）で実験を行い、以下の結果が得られた。
目的：特性値を大きくしたい（望大特性）

交互作用A×Bが有意なので、最適水準は「A₁B₂」という組み合わせで表現する。
（「A₁が最適でB₂が最適」ではなく、「A₁B₂という組み合わせが最適」という意味）

上の表で「Aの平均」だけ見ると、A₁（51.5）> A₂（50.0）なのでA₁が良さそう。
「Bの平均」だけ見ると、B₂（53.0）> B₁（48.5）なのでB₂が良さそう。

この場合、偶然「A₁B₂」が最適と一致しますが、交互作用が有意な場合は必ず二元表の各セルを見て判断してください。周辺平均だけで判断すると、A₂B₁のような意外な組み合わせが最適だった場合に見逃してしまいます。

因子A（2水準）と因子B（2水準）で実験を行った。
分散分析の結果、交互作用A×Bは有意でなかった。
目的：特性値を大きくしたい（望大特性）

交互作用A×Bが有意でないので、最適水準は「Aの最適はA₁」「Bの最適はB₂」と別々に表現する。
結果として「A₁かつB₂」を採用することになりますが、これは「A₁B₂という組み合わせ」ではなく、「A₁とB₂をそれぞれ独立に選んだ結果」という意味です。

もう少し具体的に書くと：

T̄ = 総平均（全データの平均）
Ā₁ − T̄ = A₁水準の効果（A₁の平均 − 総平均）
B̄₂ − T̄ = B₂水準の効果（B₂の平均 − 総平均）

例：総平均T̄ = 50のとき

• A₁の平均 = 54 → A₁の効果 = 54 − 50 = +4（総平均より4高い）
• A₂の平均 = 46 → A₂の効果 = 46 − 50 = −4（総平均より4低い）
• B₁の平均 = 48 → B₁の効果 = 48 − 50 = −2
• B₂の平均 = 52 → B₂の効果 = 52 − 50 = +2

点推定値の計算は、「基準点（総平均）から、各因子の効果分だけズラす」というイメージです。

総平均50を出発点として...
→ A₁を選ぶと+4される
→ B₂を選ぶとさらに+2される
→ 結果：50 + 4 + 2 = 56

これを整理すると：

T̄ = 50、Ā₁ = 54、B̄₂ = 52 のとき、最適水準A₁B₂の点推定値は？

最もシンプルな方法は、その組み合わせの平均値をそのまま使うこと：

効果を分解して計算する方法（QC検定で出題されることがある）：

交互作用効果 = (A₁B₂の平均) − Ā₁ − B̄₂ + T̄

交互作用が有意な場合、方法1（組み合わせの平均値をそのまま使う）が最も確実です。方法2は計算が複雑になるため、間違いやすいです。ただし、試験問題で「効果を分解して計算せよ」と指定されている場合は方法2を使います。

因子A, B, Cがあり、A×Bが有意、Cは単独で有意、A×C, B×Cは有意でない場合：

間違い1：有意でない因子の効果も加えてしまう
→ 有意でない因子は「効果がない（=0）」と見なすため、加算しません

間違い2：交互作用が有意なのに、因子を単独で扱う
→ A×Bが有意なら、AとBは必ず組み合わせで扱います

間違い3：総平均T̄を忘れる
→ 効果を足し合わせる場合、T̄を引く回数に注意（因子の数−1回引く）

データ = 総平均 + Aの効果 + Bの効果 + 交互作用 + 誤差

y_ij = μ + α_i + β_j + (αβ)_ij + ε_ij

V_e：誤差分散（分散分析表のV_eをそのまま使う）
n_e：有効繰返し数（effective replication）

たとえば、全部で12個のデータがあるとします。

• 総平均T̄を計算する場合 → 12個全部使う → n = 12
• A₁の平均Ā₁を計算する場合 → A₁に属する6個だけ使う → n = 6
• A₁B₂の平均を計算する場合 → A₁B₂に属する3個だけ使う → n = 3

点推定値μ̂は、これらの平均値を組み合わせて計算します。
その「組み合わせ方」によって、実質的なデータ数（n_e）が変わるのです。

N：総データ数
n_効果：その効果を計算するのに使ったデータ数

2因子実験（A: 2水準、B: 2水準、繰返し3回）を行った。
総データ数 N = 2 × 2 × 3 = 12
交互作用A×Bは有意でなく、最適水準はA₁とB₂（単独選択）。
点推定値 μ̂ = Ā₁ + B̄₂ − T̄ のときの有効繰返し数n_eを求めよ。

Step 1：各効果のデータ数を確認

• 総平均T̄：N = 12個で計算
• Ā₁（A₁の平均）：n_A = 2 × 3 = 6個で計算
• B̄₂（B₂の平均）：n_B = 2 × 3 = 6個で計算

Step 2：公式に代入

Step 3：neを求める

n_e = 4　←　1/(1/4) = 4

1/N を「基準」として考えると計算がラクです。
上の例では：
・基準の 1/N = 1/12
・A₁の効果を加えると +1/12 増える（= 1/6 − 1/12）
・B₂の効果を加えると +1/12 増える（= 1/6 − 1/12）
・合計：1/12 × 3 = 1/4 → n_e = 4

上の例では：
・Aの効果の自由度 = 2−1 = 1
・Bの効果の自由度 = 2−1 = 1
・n_e = 12 / (1 + 1 + 1) = 12 / 3 = 4

μ̂：点推定値
t(φ_e, 0.05)：t分布の上側2.5%点（両側5%）、自由度はφ_e
V(μ̂)：点推定値の分散（= V_e/n_e）
φ_e：誤差の自由度（分散分析表から）

2因子実験（A: 2水準、B: 2水準、繰返し3回、N=12）を行い、以下の結果を得た。
最適水準での母平均の95%信頼区間を求めよ。

与えられた情報：
・総平均 T̄ = 50
・Ā₁ = 54、Ā₂ = 46
・B̄₁ = 48、B̄₂ = 52
・交互作用A×Bは有意でない
・誤差分散 V_e = 8、誤差の自由度 φ_e = 8
・t(8, 0.05) = 2.306
・目的：特性値を大きくしたい

【Step 1】最適水準を決定

交互作用が有意でないので、各因子を単独で選ぶ。
Aの最適：Ā₁ = 54 > Ā₂ = 46 → A₁
Bの最適：B̄₂ = 52 > B̄₁ = 48 → B₂
→ 最適水準：A₁、B₂

【Step 2】点推定値μ̂を計算

μ̂ = Ā₁ + B̄₂ − T̄ = 54 + 52 − 50 = 56

【Step 3】有効繰返し数neを計算

n_e = N / (1 + φ_A + φ_B) = 12 / (1 + 1 + 1) = 4

【Step 4】分散V(μ̂)を計算

V(μ̂) = V_e / n_e = 8 / 4 = 2

【Step 5】信頼区間を計算

信頼区間の幅 = t(8, 0.05) × √V(μ̂) = 2.306 × √2 = 2.306 × 1.414 = 3.26

95%信頼区間：56 − 3.26 ≦ μ ≦ 56 + 3.26
→ 52.74 ≦ μ ≦ 59.26

最適水準A₁B₂で実験を行うと、特性値は約56が期待でき、95%の確率で52.74〜59.26の範囲に収まると推定されます。

実験計画法の「分散分析後の計算」は、公式を丸暗記するのではなく、「なぜその計算をするのか」を理解することが大切です。

・最適水準 → 「どの条件が最も良い結果を出すか」を知るため
・点推定 → 「その条件でどれくらいの値が出るか」を予測するため
・分散・信頼区間 → 「その予測はどれくらい信頼できるか」を評価するため

この「目的」を意識しながら計算すると、公式の意味がつながってきます。

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有効繰返し数 n_e

分散・信頼区間

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