こんにちは、シラスです。
前回は、「基準値（5%）」と「現状（3%）」を比較しました。
しかし、実務で本当にやりたいのは、「2つの現場同士」の比較ではないでしょうか。
- 🏭 「A工場（不良率3%）とB工場（不良率5%）。B工場の方が品質が悪いと言えるか？」
- 🖱 「WebサイトのボタンA（クリック率1%）とボタンB（クリック率1.5%）。どっちを採用すべき？」
これはいわゆる「A/Bテスト」の統計学的正体です。
今回は、2つのグループの比率（確率）に有意な差があるかを判定する、「母比率の差の検定」を解説します。
目次
1. 必殺技アゲイン：「比率」もプールする
この検定のロジックは、以前紹介した「t検定（等分散）」と非常によく似ています。
検定のスタート地点（帰無仮説）では、「AとBの比率は同じだ（差はない）」と仮定します。
「同じ」だと仮定するなら、別々に計算するよりも、データを合体（プール）させて「全体の比率」を計算したほうが、精度が高くなりますよね？
難しく考える必要はありません。
「2つのグループの『発生数』と『分母』を、それぞれ単純に足し算して割る」だけです。
この「全体の平均比率（$\hat{p}$）」を使って、標準誤差を計算します。
2. 検定統計量 Z の計算式
公式は少し長く見えますが、分解すれば単純です。
- 分子： 2つの比率の差（$3\% - 5\%$ など）
- 分母： 合体させた標準誤差
データ数（$n$）が十分大きければ、このZ値は正規分布に従います。
つまり、今回も判定基準はあの数字、「1.96（5%の壁）」です。
3. 実践：工場の品質対決
具体的なデータで計算してみましょう。
A工場とB工場の不良率を比較します。
- A工場： 1000個作って、不良品 30個 ($p_1 = 0.03$)
- B工場： 1000個作って、不良品 50個 ($p_2 = 0.05$)
「2%の差があるが、B工場の方が品質が悪いと言えるか？」
（有意水準 5%）
ステップ1：合併比率 $\hat{p}$ を出す
まずはデータを合体させます。
全体で見ると、不良率は 4% ということですね。
ステップ2：Z値を計算する
公式に代入します。
Z値（絶対値）は 2.28 でした。
ステップ3：判定（1.96の壁）
正規分布（両側5%）の基準値は 1.96 です。
$|2.28| > 1.96$ なので、有意差あり！
「たった2%の違い」と思うかもしれませんが、サンプル数が1000個もあるため、統計学的には「偶然の誤差とは考えにくい（B工場は明確に品質が悪い）」と判定されました。
4. もしサンプル数が少なかったら？
ちなみに、もし同じ不良率（3%と5%）でも、サンプル数が「100個ずつ」だったらどうなっていたでしょうか？
- 分母の $\sqrt{1/n}$ が大きくなるため、Z値は約 0.72 になります。
- $0.72 < 1.96$ なので、今度は「有意差なし（誤差の範囲）」になります。
比率の検定は、平均値の検定以上に「サンプル数（$n$）の暴力」が効きます。
「1%の違い」を証明したければ、数千、数万というデータが必要になることも珍しくありません。
まとめ
これで「差があるか？」の判定はできました。
では最後に、上司からのこの質問に答えましょう。
「差があるのは分かった。で、本当の不良率は何％くらいになりそうなの？」
次回、選挙速報やニュースでよく見る「支持率 ±3%」の正体、「母比率の区間推定」について解説します。
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