直交表はなぜ実験回数を減らせるのか？その仕組みを完全図解

「直交表を使えば、実験回数を大幅に減らせます」

実験計画法の教科書には、必ずこう書いてあります。
そして、L4、L8、L12といった直交表の「使い方」は丁寧に解説されています。

でも、こんな疑問を持ったことはありませんか？

私も最初は同じでした。
「使い方」は覚えたけど、「なぜ」がわからない。
試験には受かったけど、人に説明できない。

でも、あるとき気づいたんです。
直交表は「魔法」ではなく「数学」だったと。

そして、その仕組みを理解したとき、
「なるほど、だから減らせるのか！」とスッキリしました。

まず「全組み合わせ実験」の問題点を理解しよう

直交表の価値を理解するには、まず「直交表を使わない場合」の問題点を知る必要があります。

【例題】最高のカレーを作りたい！

あなたは「最高においしいカレー」を作るための実験をしたいと考えています。

調整できる要素（因子）は以下の7つ。それぞれ2つの選択肢（水準）があります。

全組み合わせ（総当たり）だと何回必要？

すべての組み合わせを試す「総当たり実験」をするとします。

128種類のカレーを作って、それぞれ味見して評価する。
現実的に不可能ですよね。

時間もコストも膨大。さらに、128回も味見したら味覚がおかしくなります。

直交表（L8）を使うと、たった8回で済む

ここで登場するのが直交表です。

L8直交表を使えば、7因子2水準の実験がたった8回で完了します。

でも、ここで当然の疑問が生まれます。

この疑問に答えるのが、この記事の目的です。

直交表が実験を減らせる「3つの原理」

直交表が128回を8回に減らせるのは、「魔法」でも「手抜き」でもありません。
数学的に正しい3つの原理に基づいています。

この3つが揃っているから、「間引いても正しい結果が出る」のです。
1つずつ、具体例で見ていきましょう。

原理①：バランス（均等出現）

「バランス」とは何か？

バランスとは、各因子の各水準が、実験全体で同じ回数だけ登場することです。

L8直交表を見てみましょう。

因子Aの列を見てください。

• 水準1（赤）が登場する回数：4回（実験No.1,2,3,4）
• 水準2（青）が登場する回数：4回（実験No.5,6,7,8）

ぴったり半分ずつ。これがバランスです。
他の因子B〜Gも、すべて水準1が4回、水準2が4回です。

なぜバランスが重要なのか？

バランスが取れていないと、公平な比較ができないからです。

原理②：直交性（独立性）

ここが最も重要で、「直交表」という名前の由来でもあります。

「直交」とは何か？

直交とは、数学的には「ベクトルの内積がゼロ」という意味ですが、
実験計画法では「任意の2列の組み合わせが、すべて同じ回数だけ登場する」という性質を指します。

言葉だけではわかりにくいので、具体的に見てみましょう。

【具体例】因子Aと因子Bの組み合わせを数える

L8直交表で、因子Aと因子Bの組み合わせを数えてみましょう。

組み合わせの出現回数を数えると、

この性質は、どの2列を選んでも成り立ちます。
AとB、AとC、BとD、EとG…すべての2列の組み合わせが「均等」なのです。

なぜ直交性が重要なのか？

直交性があると、因子の効果が「混ざらない」のです。

直交表は、すべての組み合わせが均等なので、交絡が起きない。
だから、各因子の効果を独立して評価できるのです。

【たとえ話】アンケート調査で考える

直交性をもっと身近な例で考えてみましょう。

原理③：効果の分離（なぜ128回が8回で済むのか）

ここまでで「バランス」と「直交性」を理解しました。
でも、まだ核心の疑問が残っています。

答えは、「不要な情報」ではなく「知りたい情報を効率よく得ている」です。

【核心】私たちが本当に知りたい情報は何か？

128回の総当たり実験で得られる情報を整理してみましょう。

しかし、現実の実験では3因子以上の交互作用はほぼ無視できることが知られています。

カレーの例で言えば、
「肉×玉ねぎ×煮込み時間×スパイス×隠し味」の5因子が同時に影響し合う…
なんてことは、現実にはほぼ起きないのです。

直交表は「知りたい情報」だけを効率よく得る

L8直交表で8回の実験をすると、以下の情報が得られます。

ポイントは、「主効果」は完璧に分離できるということ。

バランスと直交性があるおかげで、
「どの因子がどれだけ効果があるか」は、8回の実験で正確にわかるのです。

【たとえ話】クラスの平均点を知りたいとき

もう1つ、身近な例で考えてみましょう。

【図解まとめ】直交表が実験を減らせる仕組み

ここまでの内容を、1枚の図にまとめます。

直交表の「代償」も知っておこう

直交表は万能ではありません。
実験回数を減らす代わりに、失うものもあります。

代償①：交互作用が交絡する

L8直交表で7因子を割り付けると、2因子交互作用が他の効果と混ざってしまいます。

例えば、「A×B」の交互作用と「C」の主効果が区別できなくなる、など。

これを交絡（エイリアス）と呼びます。
交互作用が重要な実験では、L8ではなくL16など、より大きな直交表を使う必要があります。

代償②：最適な組み合わせがわからないことがある

128通りのうち8通りしか試していないので、
「試していない組み合わせが実は最高だった」という可能性はあります。

ただし、主効果が正しく評価できていれば、
「各因子のベストな水準」を組み合わせることで、最適解に近い条件は見つけられます。

次に学ぶべきこと

直交表の「なぜ」がわかったら、次は「どう使うか」を学びましょう。

まとめ：直交表は「魔法」ではなく「数学」

直交表は、「間引き」ではなく「効率的な選択」です。

128通りすべてを試さなくても、
「知りたい情報（各因子の効果）」は8回で正確に得られる。
それを数学的に保証しているのが、「直交性」という性質なのです。