【QC検定1級】直交表の分散分析を完全攻略｜平方和・自由度・推定まで全手順を図解

「直交表の分散分析、一元配置と何が違うの？」
「列平方和の公式が2つあって、どっちを使えばいいかわからない…」
「誤差列って何？どうやって見つけるの？」

QC検定1級を目指す方なら、こんな悩みを抱えているのではないでしょうか。

直交表の分散分析は、一元配置や二元配置と考え方は同じです。ただし、「列ごとに計算する」という独特のルールがあるため、最初は混乱しやすいポイントでもあります。

結論から言うと、直交表の分散分析は「8つのルール」を理解すれば、どんな問題でも解けるようになります。

この記事では、2水準系直交表（L4・L8・L16など）の分散分析について、基礎から推定まで完全解説します。QC検定1級レベルの内容を、図解と例題で丁寧に説明していきますので、ぜひ最後まで読んでください。

2水準系直交表の分散分析｜8つの基本ルール

まずは、2水準系直交表の分散分析における8つの基本ルールを確認しましょう。これが理解できれば、計算の流れが見えてきます。

特に重要なのは③の「誤差列」です。一元配置や二元配置では「繰返し」から誤差を求めましたが、直交表では「使わない列」が誤差になるという独特のルールがあります。

なぜ「列ごと」に計算するのか？

直交表の最大の特徴は、「各列が直交している」ことです。

直交しているとは、各列が互いに独立していること。つまり、ある列の効果が、他の列の効果に影響を与えないということです。

この性質があるからこそ、私たちは「列ごとに」平方和を計算できるのです。一元配置や二元配置と同じように、各因子の効果を独立して評価できるのが直交表の強みです。

列平方和の求め方｜2つの公式を使い分ける

直交表の分散分析で最も重要な計算が「列平方和」の計算です。

列平方和を求める公式は2つあります。どちらを使っても同じ答えになりますが、2水準系では「簡便式」を使うと計算がラクになります。

公式①：一般式（多水準でも使える）

まずは、一元配置や二元配置と同じ考え方の「一般式」です。

この式は、一元配置の「水準間平方和」と同じ形です。各水準のデータ合計を2乗して、データ数で割り、修正項CTを引く。

多水準（3水準以上）の直交表を使う場合は、この一般式を使います。

公式②：簡便式（2水準専用）

2水準系の直交表（L4・L8・L16など）では、より簡単な公式が使えます。

この簡便式は、「第1水準の合計と第2水準の合計の差を2乗して、総データ数で割るだけ」です。修正項CTを引く必要がないので、計算がとても簡単になります。

なぜ簡便式が成り立つのか？

2水準の場合、第1水準のデータ数と第2水準のデータ数は常に等しくなります（どちらもN/2個）。

一般式に代入して整理すると…

このように、2水準の場合に限り、簡便式が成り立ちます。QC検定ではこの簡便式を使うと計算ミスが減るので、ぜひ覚えてください。

列の自由度

各列の自由度（列自由度）φ_[k]は、水準数 − 1 です。

2水準系の直交表では、すべての列の自由度が1になります。これは覚えておくと便利です。

誤差列の見つけ方｜直交表特有のルール

直交表の分散分析で、最も理解しにくいのが「誤差列」の概念です。

一元配置や二元配置では、「繰返し」から誤差を計算しました。しかし、直交表では繰返しがない場合も多いです。では、誤差はどこから求めるのでしょうか？

誤差列とは？

直交表には複数の「列」がありますが、すべての列に因子を割り付けるわけではありません。

つまり、誤差列とは「何の効果も表していない列」のことです。この列の変動は、純粋な「バラつき（誤差）」と見なせます。

【具体例】L8直交表での誤差列

L8直交表には7つの列があります。ここに3因子（A, B, C）を割り付ける場合を考えてみましょう。

この例では、A×Bの交互作用を取り上げているため、第3列は交互作用列になります。第5・6・7列は、因子も交互作用も割り付けられていないので、「誤差列」となります。

誤差平方和と誤差自由度の計算

誤差平方和と誤差自由度は、誤差列の平方和・自由度を合計して求めます。

2水準系では各列の自由度が1なので、誤差列が3つあれば誤差自由度は3になります。

総平方和の検算

直交表の便利な性質として、「総平方和 = すべての列平方和の合計」が成り立ちます。

この関係を使うと、計算の検算ができます。総平方和を直接計算した値と、列平方和の合計が一致すれば、計算が正しいことが確認できます。

【実践】L8直交表の分散分析を計算する

ここからは、具体的な例題を使って、L8直交表の分散分析を実際に計算してみましょう。

例題の設定

ステップ①：基本統計量の計算

まず、計算に必要な基本統計量を求めます。

ステップ②：各列の水準別合計を求める

次に、各列について「第1水準のデータ合計」と「第2水準のデータ合計」を求めます。

ステップ③：列平方和を計算する（簡便式）

2水準系なので、簡便式 S_[k] = (T_[k]1 − T_[k]2)² / N を使います。

ステップ④：誤差平方和を計算する

誤差列（第5・6・7列）の平方和を合計します。

ステップ⑤：分散分析表を完成させる

以上の結果をまとめて、分散分析表を作成します。

F分布表の値（φ1=1, φ2=3）：F(1,3;0.05) = 10.13、F(1,3;0.01) = 34.12

この結果から、因子AとBは1%水準で有意（**）、因子Cは5%水準で有意（*）、A×Bの交互作用は有意でないことがわかります。

母平均の点推定｜最適条件での予測値を求める

分散分析で有意な因子がわかったら、次は「最適条件を決めて、そのときの母平均を推定する」ステップに進みます。

最適条件の決定

望大特性（大きいほど良い）の場合、各因子の平均値が大きい水準を選びます。

したがって、最適条件はA₂B₂C₂となります。

母平均の点推定

最適条件A₂B₂C₂における母平均μの点推定値μ̂は、以下の式で求めます。

計算してみましょう。

最適条件A₂B₂C₂で製造した場合、強度の母平均は28.5と推定されます。

点推定値の分散の推定｜有効繰返し数を使う

点推定値μ̂がわかったら、次に「その推定値がどのくらい信頼できるか」を評価します。それが「点推定値の分散」です。

有効繰返し数 ne とは？

直交表では実際の「繰返し」がないため、「仮想的な繰返し数」として有効繰返し数 ne を使います。

今回の例では、A・B・Cの3因子を点推定に使っています（各自由度1）。

点推定値の分散

点推定値μ̂の分散は、以下の式で推定します。

母平均の区間推定（信頼区間）

点推定値の分散がわかれば、95%信頼区間を計算できます。

最適条件A₂B₂C₂における母平均μは、95%の信頼度で26.65〜30.35の範囲にあると推定されます。