【計算例あり】偏回帰係数の区間推定｜95%信頼区間の求め方

「広告費の偏回帰係数は5.0で、有意だった。じゃあ、広告費を1万円増やすと売上は5万円増えるんだね？」

…ちょっと待ってください。

その「5.0」はサンプルから計算した推定値です。別のサンプルで計算したら「4.0」かもしれないし「6.0」かもしれません。

つまり、「5.0」という1点だけを信じるのは危険なんです。

そこで登場するのが「区間推定」です。

区間推定を使えば、「真の偏回帰係数βは、95%の確率で2.39〜7.61の範囲にある」といった形で、推定の"幅"を示すことができます。

この記事では、偏回帰係数の信頼区間の考え方から計算方法まで、具体的な数値例を使って徹底解説します。

なぜ「点推定」だけでは不十分なのか？

点推定の限界｜「当たり」か「外れ」かの二択になってしまう

偏回帰係数 b = 5.0 という値は、「点推定」と呼ばれます。

点推定とは、母集団のパラメータ（真の値β）を1つの値で推定すること。ダーツの的に向かって「ここだ！」と1点を狙うイメージです。

でも、よく考えてみてください。

ダーツの的の中心（真の値β）に、ピッタリ当たる確率ってどのくらいでしょう？

…ほぼゼロですよね。

点推定では、「真の値βがちょうど5.0である確率」は限りなくゼロに近いのです。

区間推定の発想｜「網」を張って真の値を捕まえる

そこで登場するのが「区間推定」です。

区間推定とは、母集団のパラメータ（真の値β）を「幅」で推定すること。ダーツの的に「網」を張って、「この範囲のどこかに真ん中がある」と言うイメージです。

95%信頼区間の意味を正しく理解する

よくある誤解：「真の値がこの範囲にある確率が95%」ではない

「95%信頼区間」という言葉、直感的には「真の値βがこの範囲にある確率が95%」と思いがちですよね。

でも、これは厳密には正しくありません。

正しい解釈はこうです。

つまり、「この1回の区間」が真の値を含んでいるかどうかは、実は「含んでいる」か「含んでいない」かの二択なんです。確率95%で揺らいでいるわけではありません。

…とはいえ、日常的には「真の値がこの範囲にある確率が高い」くらいの理解でOKです。

信頼水準を変えると何が変わる？

信頼区間は「95%」だけでなく、「90%」や「99%」で計算することもあります。

信頼水準を変えると、区間の幅が変わります。

「確実に当てたい」なら99%、「精度を高めたい」なら90%…ですが、通常は95%がスタンダードです。特に理由がなければ95%を使いましょう。

信頼区間の計算式

公式：点推定値 ± t × 標準誤差

偏回帰係数の信頼区間は、次の公式で計算します。

シンプルに言うと、こういうことです。

「のりしろ」を決める2つの要素

「のりしろ」（= t値 × 標準誤差）の大きさは、2つの要素で決まります。

区間を狭くしたい（精度を上げたい）なら、サンプルサイズを増やすのが王道です。サンプルが増えると標準誤差が小さくなり、区間が狭くなります。

【計算例】95%信頼区間を実際に求めてみよう

問題設定：売上を予測するモデル（前回の続き）

これまでと同じ例を使います。売上（y）を「広告費（x₁）」と「店舗面積（x₂）」で予測するモデルです。

この情報から、各変数の95%信頼区間を計算していきます。

ステップ1：t分布表からt値を求める

まず、95%信頼区間に必要なt値を求めます。

t分布表は、次の2つの情報で引きます。

• 自由度：残差の自由度 = 12
• 有意水準：95%信頼区間なので α = 0.05 → 両側なので α/2 = 0.025

これが「のりしろ」を決めるt値です。

ステップ2：広告費（x₁）の信頼区間を計算

広告費の95%信頼区間を計算しましょう。

これは何を意味するでしょうか？

ステップ3：店舗面積（x₂）の信頼区間を計算

同様に、店舗面積の95%信頼区間を計算します。

ここで重要なポイントに気づきましたか？

店舗面積の信頼区間は「0」を含んでいます（−1.27〜5.27）。

これは何を意味するでしょうか？

信頼区間から「有意性」も判定できる

裏技：信頼区間が「0」を含むかどうかでt検定と同じ判定ができる

実は、信頼区間を見るだけでt検定と同じ判定ができます。

なぜこれでわかるのでしょうか？

帰無仮説は「βⱼ = 0（この変数は効いていない）」でしたよね。

信頼区間が0を含まないということは、「真の値βⱼが0である可能性は95%の確率で否定される」ということ。つまり、帰無仮説を棄却できるのです。

今回の例で確認してみよう

前回のt検定の結果と完全に一致していますね。

99%信頼区間も計算してみよう

信頼水準を上げると区間はどう変わる？

参考として、99%信頼区間も計算してみましょう。

99%信頼区間に必要なt値は、α = 0.01 → α/2 = 0.005 で引きます。

95%のときの t = 2.179 より大きくなっていますね。これで「のりしろ」が広がります。

広告費（x₁）の99%信頼区間

店舗面積（x₂）の99%信頼区間

95%と99%の比較

信頼水準を95%から99%に上げると、区間の幅が約1.4倍に広がりました。

「確実に当てたい」なら99%ですが、その分「精度」は落ちます。このトレードオフを理解して、目的に応じて使い分けましょう。

信頼区間を狭くするには？

サンプルサイズを増やすのが王道

「信頼区間が広すぎて、意思決定に使えない…」

そんなときは、サンプルサイズを増やすのが最も効果的です。

サンプルサイズnが増えると、次の2つの効果があります。

「のりしろ = t値 × 標準誤差」なので、両方が小さくなれば区間は確実に狭くなります。

その他の方法

• 信頼水準を下げる（99% → 95% → 90%）：ただしリスクは増える
• 測定精度を上げる：データのバラつきを減らす
• 説明変数を増やす：残差の分散が減れば標準誤差も減る（ただし多重共線性に注意）

計算手順のまとめ

まとめ

この記事では、偏回帰係数の区間推定について解説しました。

区間推定をマスターしたら、次は「重回帰分析がうまくいかない原因」として有名な多重共線性（VIF）について学びましょう。