目次
はじめに
「宝くじを買うべきか、やめるべきか」「どの保険に入るのがお得か」「新商品の開発に投資すべきか」...こんな迷いを抱えたことはありませんか？これらの判断には、「期待値」という確率論の重要な概念が深く関わっています。
期待値は、簡単に言うと「確率を考慮した平均値」です。不確実な状況で複数の結果が考えられる時、それぞれの結果に確率の重みをつけて計算した「期待される値」を表します。
例えば、宝くじで「1等1000万円が1万分の1の確率で当たる」場合、期待値は1000万円 × 1/10000 = 1000円です。つまり、宝くじ1枚の「期待される価値」は1000円ということになります。
今日は、この期待値の計算方法から実際のビジネスや投資での活用法まで、具体例を交えて詳しく学んでいきましょう。
期待値の基本概念
期待値とは何か
期待値は、確率分布における「重み付き平均」です。各結果の値に、その結果が起こる確率を掛けて、すべて足し合わせた値が期待値になります。
離散型の期待値の公式
E(X) = Σ xᵢ × P(xᵢ)
E(X)：期待値
xᵢ：各結果の値
P(xᵢ)：各結果が起こる確率
身近な例で理解する
例1：簡単なゲーム
ルーレットゲーム：
・赤が出る確率：1/2、賞金：200円
・青が出る確率：1/3、賞金：150円
・黄が出る確率：1/6、賞金：600円
期待値 = 200 × 1/2 + 150 × 1/3 + 600 × 1/6
= 100 + 50 + 100
= 250円
解釈：このゲームを何度も繰り返せば、1回あたり平均250円がもらえることが期待される。
例2：サイコロの期待値
普通のサイコロ（1～6の目）：
各目が出る確率：1/6
期待値 = 1×(1/6) + 2×(1/6) + 3×(1/6) + 4×(1/6) + 5×(1/6) + 6×(1/6)
= (1+2+3+4+5+6) × 1/6
= 21/6 = 3.5
解釈：サイコロを何度も振れば、出る目の平均は3.5に近づく。
期待値の計算方法
ステップ別計算手順
ステップ1：すべての可能な結果を列挙 ステップ2：各結果が起こる確率を求める ステップ3：各結果の値に確率を掛ける ステップ4：すべてを足し合わせる
実践例：宝くじの期待値
例：ロト6（実際の数値は概算）
1等（6億円）：確率 1/6,096,454 ≈ 1.64×10⁻⁷
2等（1000万円）：確率 6/6,096,454 ≈ 9.84×10⁻⁷
3等（30万円）：確率 216/6,096,454 ≈ 3.54×10⁻⁵
4等（6800円）：確率 9990/6,096,454 ≈ 1.64×10⁻³
5等（1000円）：確率 155400/6,096,454 ≈ 2.55×10⁻²
ハズレ（0円）：残りの確率
期待値計算：
E(X) = 600,000,000 × 1.64×10⁻⁷ + 10,000,000 × 9.84×10⁻⁷
+ 300,000 × 3.54×10⁻⁵ + 6,800 × 1.64×10⁻³
+ 1,000 × 2.55×10⁻² + 0 × (残りの確率)
≈ 98 + 10 + 11 + 11 + 26 + 0
≈ 156円
1枚300円の宝くじの期待値：約156円
結論：統計的には、宝くじは「損をするゲーム」
連続型分布の期待値
連続型の確率分布では積分を使います：
E(X) = ∫ x f(x) dx
f(x)：確率密度関数
例：一様分布（0から10の間で等確率）
E(X) = ∫₀¹⁰ x × (1/10) dx = (1/10) × [x²/2]₀¹⁰ = 5
期待値の重要な性質
1. 線形性
期待値の最も重要な性質は「線形性」です。
定数倍の性質
E(aX) = a × E(X)
例：サイコロの目を2倍した値の期待値
E(2X) = 2 × E(X) = 2 × 3.5 = 7
加法性
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
※XとYが独立でなくても成り立つ
例：2つのサイコロの合計の期待値
E(X₁ + X₂) = E(X₁) + E(X₂) = 3.5 + 3.5 = 7
一般形
E(aX + bY + c) = a×E(X) + b×E(Y) + c
2. 独立性と期待値
独立な確率変数の積
X と Y が独立の場合：
E(XY) = E(X) × E(Y)
従属な場合は成り立たない
一般的には：E(XY) ≠ E(X) × E(Y)
期待値の実践的活用
1. 投資判断
例：2つの投資案の比較
投資案A（安定型）
好況（確率30%）：リターン +8%
普通（確率50%）：リターン +5%
不況（確率20%）：リターン +2%
期待リターン = 8%×0.3 + 5%×0.5 + 2%×0.2 = 2.4% + 2.5% + 0.4% = 5.3%
投資案B（ハイリスク型）
大成功（確率10%）：リターン +30%
成功（確率40%）：リターン +10%
失敗（確率30%）：リターン -5%
大失敗（確率20%）：リターン -20%
期待リターン = 30%×0.1 + 10%×0.4 + (-5%)×0.3 + (-20%)×0.2
= 3% + 4% - 1.5% - 4% = 1.5%
結論：期待値だけ見れば投資案Aが有利
2. 保険の仕組み
例：自動車保険
事故が起こる確率：年間2%
事故時の損失：平均200万円
保険料：年間5万円
被保険者の期待損失：200万円 × 0.02 = 4万円
保険会社の期待利益：5万円 - 4万円 = 1万円
保険会社の視点：多数の契約者から保険料を集めることで、期待値に基づいた安定収益を確保
3. ビジネスの意思決定
例：新商品開発の判断
開発プロジェクト
大成功（確率20%）：利益 +5000万円
普通（確率50%）：利益 +1000万円
失敗（確率30%）：損失 -2000万円
開発費用：500万円
期待利益 = 5000×0.2 + 1000×0.5 + (-2000)×0.3 - 500
= 1000 + 500 - 600 - 500 = 400万円
結論：期待値がプラスなので、開発を進める価値がある
4. ゲーム理論への応用
例：じゃんけんの戦略
相手がグーを50%、チョキを30%、パーを20%の確率で出す場合：
自分がパーを出した時の期待値：
勝ち（相手グー）：確率50%、得点+1
あいこ（相手パー）：確率20%、得点0
負け（相手チョキ）：確率30%、得点-1
期待得点 = 1×0.5 + 0×0.2 + (-1)×0.3 = 0.5 - 0.3 = 0.2
期待値と現実のギャップ
1. 期待値と実際の結果
期待値は「長期的な平均」であり、個別の試行結果とは異なることがあります。
例：サイコロ1回の結果
- 期待値：3.5
- 実際の結果：1, 2, 3, 4, 5, 6のいずれか（3.5は出ない）
大数の法則：試行回数を増やすほど、実際の平均は期待値に近づく
2. リスクの考慮
期待値が同じでも、リスク（ばらつき）が異なる場合があります。
例：2つのゲーム
ゲームA
確実に100円もらえる
期待値：100円、リスク：0
ゲームB
50%の確率で200円、50%の確率で0円
期待値：100円、リスク：大
選択の違い
- リスク回避型：ゲームAを選択
- リスク愛好型：ゲームBを選択
3. 効用理論
実際の人間の行動は、必ずしも期待値最大化とは一致しません。
例：保険への加入
統計的には「損をする」にも関わらず、多くの人が保険に加入
→ 金銭的価値と主観的価値（効用）は異なる
期待値計算の注意点
1. 確率の正確性
❌ 間違い：主観的な確率で計算
「なんとなく30%ぐらい」
✅ 正しい：客観的データに基づく確率
過去のデータ、統計調査結果など
2. すべての結果の考慮
❌ 間違い：一部の結果のみ考慮
成功例だけを考える
✅ 正しい：失敗も含めたすべての可能性
最悪のケースも含めて計算
3. 条件の変化
❌ 間違い：静的な確率で計算
市場環境の変化を無視
✅ 正しい：動的な確率の更新
新しい情報による確率の見直し
まとめ
期待値は、不確実な状況での意思決定に欠かせない概念です。投資、保険、ビジネス判断など、様々な場面で期待値を正しく計算し活用することで、より合理的な判断ができるようになります。
今日のポイント
✅ 期待値：確率を重みとした加重平均
✅ 線形性：E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c
✅ 実践活用：投資判断、保険設計、ビジネス戦略
✅ 注意点：期待値≠実際の結果、リスクも考慮が必要
✅ 大数の法則：試行回数増加で実際の平均は期待値に収束
次回は「分散の加法性」について学びます。複数の確率変数を組み合わせた時の分散の計算方法と、ポートフォリオ理論への応用を詳しく解説していきます！
