💭 こんな疑問、ありませんか？
- 「1時間に何回お客さんが来るか」を予測したい
- 「1日に何件クレームが入るか」を知りたい
- ポアソン分布って何？二項分布と何が違うの？
✅ この記事でスッキリ解決！
「コンビニのレジ」「LINEの通知」など身近な例えで、ポアソン分布を完全マスターできます！
📌 この記事の結論（先に知っておこう！）
ポアソン分布は「めったに起きないけど、たまに起きること」を予測するための道具です。「1時間に平均3回電話が鳴る」とき、「5回鳴る確率は？」「0回の確率は？」を計算できます。平均λ（ラムダ）さえわかれば、未来が予測できる魔法の分布です！
目次
🎯 ポアソン分布って何？｜一言でいうと
ポアソン分布を一言で説明すると…
「めったに起きないこと」が
「一定期間に何回起きるか」を予測する道具
もう少し具体的に言うと、こんな場面で使います。
📞
コールセンター
1時間に何回電話が鳴る？
🏭
工場の品質管理
1日に何個の不良品が出る？
🚗
交通事故
1週間に何件事故が起きる？
🛒
コンビニのレジ
10分間に何人お客さんが来る？
共通点は「めったに起きないけど、たまに起きること」を数えていることです。
📱 身近な例で理解しよう｜LINEの通知
ポアソン分布を、スマホの通知で考えてみましょう。
📱 あなたのスマホの1日を観察すると…
「1時間あたり平均2回、LINEの通知が来る」とわかりました。
では、次の1時間で…
- 通知が0回の確率は？
- 通知が3回の確率は？
- 通知が5回以上の確率は？
こういう予測ができるのが、ポアソン分布です！
🤔 なぜ「通知の回数」は予測できるの？
実は、こんな条件が揃っていれば、ポアソン分布で予測できます。
✅ ポアソン分布が使える3つの条件
① 平均的な発生率がわかっている
「1時間に平均2回」のように、平均がわかっている
② 各イベントは独立している
1回目の通知が来たからって、2回目が来やすくなるわけではない
③ 同時に複数回は起きない
同じ瞬間に2つの通知が同時に来ることはない
🔑 λ（ラムダ）って何？｜たった1つのパラメータ
ポアソン分布で最も大切なのがλ（ラムダ）です。
λ ＝ 平均発生回数
「一定期間に、平均して何回起きるか」を表す数字
λさえわかれば、ポアソン分布の形が決まります！
🎯 λの具体例
| 場面 | λの意味 | λの値 |
|---|---|---|
| コールセンター | 1時間あたりの平均着信数 | λ = 5 |
| 工場の不良品 | 1日あたりの平均不良品数 | λ = 2 |
| 交差点の事故 | 1週間あたりの平均事故数 | λ = 0.5 |
| Webサイトのエラー | 1時間あたりの平均エラー数 | λ = 0.3 |
📊 λが変わると、分布の形も変わる
λの値によって、ポアソン分布のグラフの形が変わります。
λ = 1（めったに起きない）
0回が一番多い
右に裾が長い形
λ = 5（ときどき起きる）
5回付近が一番多い
山型に近づく
λ = 10（よく起きる）
10回付近が一番多い
左右対称に近い
💡 ポイント：λが大きくなると、ポアソン分布は正規分布に近づきます。λ ≥ 10 くらいから、ほぼ左右対称の山型になります。
📐 ポアソン分布の公式｜意味をイメージで理解
ポアソン分布の確率を求める公式を見てみましょう。
P(X = k) = (λᵏ × e⁻λ) / k!
公式を見ると難しそうですが、各パーツの意味を理解すればシンプルです！
🧩 公式を分解してみよう
λᵏ（ラムダのk乗）
「k回起きる可能性」を表す。k回起きるには、イベントがk回発生する必要がある。
e⁻λ（eのマイナスλ乗）
「0回起きる確率」の基本部分。λが大きいほど、0回の確率は下がる。
k!（kの階乗）
k回起きる「順番」を考慮して割る。3回なら 3! = 3×2×1 = 6 で割る。
💡 覚え方のコツ
公式を丸暗記するより、「λ（平均）さえわかれば計算できる」ということを覚えましょう。実際の試験では、電卓や公式表を使えることが多いです。
✏️ 計算例｜実際に確率を求めてみよう
📝 例題
あるコールセンターでは、1時間あたり平均3回の電話がかかってきます。
次の1時間で、電話がちょうど5回かかってくる確率を求めなさい。
📋 解き方ステップ
λを確認する
問題文から「1時間あたり平均3回」なので、λ = 3
kを確認する
「ちょうど5回」なので、k = 5
公式に代入する
P(X = 5) = (3⁵ × e⁻³) / 5!
各パーツを計算する
3⁵ = 243
e⁻³ ≒ 0.0498
5! = 120
答えを出す
P(X = 5) = (243 × 0.0498) / 120 ≒ 0.101
答え：約10.1%（約10回に1回）
平均3回のところに5回電話がかかってくる確率は、意外と低くないですね！
📊 他の回数の確率も見てみよう
λ = 3のとき、各回数の確率はこうなります。
| 回数 k | 0回 | 1回 | 2回 | 3回 | 4回 | 5回 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 確率 | 5.0% | 14.9% | 22.4% | 22.4% | 16.8% | 10.1% |
平均λ = 3のとき、2回と3回が最も起きやすく、0回や6回以上は起きにくいことがわかります。
🔗 二項分布との関係｜ポアソン分布の正体
実は、ポアソン分布は二項分布の「特殊なケース」なんです。
🎯 ポアソン分布が生まれる条件
試行回数 n
とても大きい
×
成功確率 p
とても小さい
n × p = λ（一定）のとき、二項分布はポアソン分布に近づく！
🏭 工場の不良品で理解しよう
📦 具体例
ある工場では、1日に10,000個の製品を作っています。
不良品率は0.02%（0.0002）と非常に低いです。
このとき、1日の不良品の数は？
二項分布で計算すると…
n = 10,000
p = 0.0002
→ 計算がとても大変！😵
ポアソン分布で近似すると…
λ = n × p = 10,000 × 0.0002 = 2
→ λ = 2 で簡単に計算できる！😊
💡 使い分けのポイント：試行回数nが大きく（目安：n ≥ 100）、確率pが小さい（目安：p ≤ 0.1）とき、ポアソン分布で近似すると計算が楽になります！
📊 ポアソン分布の性質｜覚えておきたいポイント
✨ ポアソン分布の3つの重要な性質
① 平均 = 分散 = λ
ポアソン分布では、平均と分散が同じ値λになります。
E(X) = λ、V(X) = λ
② 再生性がある
λ₁のポアソン分布 + λ₂のポアソン分布 = λ₁+λ₂のポアソン分布
1時間で平均3回 + 1時間で平均2回 = 2時間で平均5回
③ λが大きいと正規分布に近づく
λ ≥ 10 くらいになると、正規分布N(λ, λ)で近似できます。
平均 ＝ 分散 ＝ λ
これがポアソン分布の最大の特徴！
平均と分散が同じ値になる。
✅ まとめ｜ポアソン分布のポイント
📝 試験で覚えるべきこと
① ポアソン分布とは？
「めったに起きないこと」が「一定期間に何回起きるか」を予測する分布
② λ（ラムダ）とは？
平均発生回数。これ1つで分布が決まる！
③ 公式
P(X = k) = (λᵏ × e⁻λ) / k!
④ 二項分布との関係
nが大きく、pが小さいとき、二項分布はポアソン分布で近似できる
⑤ 最大の特徴
平均 = 分散 = λ（平均と分散が一致する）
📚 確率分布シリーズ｜あわせて読みたい
🎯 QC検定での出題ポイント
ポアソン分布はQC検定2級・3級で頻出のテーマです。特に以下の点を押さえておきましょう。
- 不良品数や欠点数など「計数値」のモデル化
- 二項分布との使い分け（nが大きく、pが小さい場合）
- 平均と分散が等しいという特徴