【初心者向け】自由度の意味と計算方法｜なぜn-1？を徹底解説

✋ ちょっと待った!
「自由度って何?なぜ-1するの?」
「t検定やカイ二乗検定で計算方法が違って混乱する…」

そんな悩みを抱えていませんか?

この記事を読めば、もう迷いません。
統計学の最大の壁「自由度」の本質を、身近な例でやさしく、しかもQC検定で即使える形でお伝えします。

💡 この記事で得られること
✅ 自由度とは何かが直感的に理解できる
✅ なぜ「-1」するのかが腹落ちする
✅ t検定・カイ二乗検定・分散分析の自由度が計算できる
✅ QC検定2級・1級で確実に得点できる

💬 統計学でよくあるこんな悩み…

「データ数-1って言われても、なぜ1を引くのか分からない」
「t検定では『n-1』なのに、カイ二乗検定は『(行-1)×(列-1)』で混乱する」
「検定ごとに公式が違って覚えられない」
「QC検定で分散分析表を作るとき、自由度で必ずミスする…」

🎯 この記事のゴール

✅ 自由度の本質「自由に決められる数の個数」を理解する
✅ なぜ平均を使うと「-1」するのかが分かる
✅ t検定・カイ二乗検定・分散分析の自由度を自力で計算できる
✅ QC検定で自信を持って解答できる

🎓 自由度の定義

「n個の数値があり、何らかの制約条件(例:合計が固定)がある時、
自由に決められる数値の個数」

簡単に言うと:
最後の1つは自動的に決まるから、自由に決められるのは(n-1)個!

A + B + C + あなた = 10,000円

💡 ポイント!

4人いるのに自由に決められるのは3人だけです。
これが「自由度3」の意味です!

✅ 4人 - 1(制約) = 3(自由度)

自由度 = n - 1

❓ なぜ「-1」するのか?

→ 合計という「制約条件」が1つあるため、最後の1つは自動的に決まる
→ だから自由に決められるのは(n-1)個だけ!

平均 = (3 + 5 + 7 + 9 + 11) ÷ 5 = 7

⚠️ 重要な性質!

偏差の合計は必ずゼロになります:

(-4) + (-2) + 0 + 2 + 4 = 0

自由度 = 5 - 1 = 4

分散 = Σ(データ - 平均)² ÷ (n - 1)

❓ なぜ n ではなく (n-1) で割るのか?

→ 平均を使った時点で制約が1つ生まれ、自由度が n-1 になるから
→ より正確な推定値を得るための補正

📊 自由度の計算

データ数: n = 10人
平均を計算するため: 制約が1つ

自由度 = n - 1 = 10 - 1 = 9

💡 なぜこの自由度なのか?

10人のテスト結果から平均を計算すると、10個のうち9個の偏差が決まれば、
10個目の偏差は自動的に決まります(偏差の合計 = 0より)

📊 自由度の計算(対応なし)

それぞれの組で制約が1つずつ:

自由度 = (n₁ - 1) + (n₂ - 1) = n₁ + n₂ - 2
= 8 + 10 - 2 = 16

💡 なぜこの自由度なのか?

✅ A組: 8人のデータで平均を計算 → 自由度7
✅ B組: 10人のデータで平均を計算 → 自由度9
✅ 合計: 7 + 9 = 16

📊 自由度の計算

差(授業後 - 授業前)を計算して、その差の平均を使うため:

自由度 = n - 1 = 10 - 1 = 9

📊 自由度の計算

カテゴリー数: k = 6
制約条件: 「合計 = 60」が固定

自由度 = k - 1 = 6 - 1 = 5

💡 なぜこの自由度なのか?

6つの目のうち、5つの度数が決まれば、6つ目の度数は自動的に決まります
(合計60になるように)

具体例:
目1が8回、目2が12回、目3が9回、目4が11回、目5が10回
→ 目6は? 60 - (8+12+9+11+10) = 10回(自動的に決まる)

📊 自由度の計算

行数: r = 2(男性・女性)
列数: c = 3(商品A・B・C)

自由度 = (r - 1) × (c - 1) = (2 - 1) × (3 - 1) = 1 × 2 = 2

💡 なぜ「(行-1)×(列-1)」なのか?

制約条件が複数あるためです:

1️⃣ 各行の合計が固定: 男性45人、女性55人
2️⃣ 各列の合計が固定: 商品A30人、商品B35人、商品C35人

この制約の中で、2つのセルだけ自由に決められる → 自由度 = 2

① 総自由度(φT)

全データの自由度:
φT = n - 1 = 15 - 1 = 14

意味: 15個のデータから全体の平均を計算すると、14個の偏差が自由に決められる

② 群間(水準間)の自由度(φA)

グループ数: a = 3(ライン数)
φA = a - 1 = 3 - 1 = 2

意味: 3つのグループ平均から全体平均を計算すると、2つのグループ平均が自由に決められる

③ 群内(誤差)の自由度(φe)

φe = φT - φA = 14 - 2 = 12

または:
φe = a × (r - 1) = 3 × (5 - 1) = 3 × 4 = 12

意味: 各グループ内で、5個のデータから平均を引いた偏差は4個が自由に決められる。
それが3グループあるので 4 × 3 = 12

φT = φA + φe
14 = 2 + 12 ✓

① 総自由度(φT)

φT = n - 1 = 12 - 1 = 11

② 因子Aの自由度(φA)

φA = a - 1 = 3 - 1 = 2

意味: 温度3水準の平均を使うと、2つが自由に決められる

③ 因子Bの自由度(φB)

φB = b - 1 = 2 - 1 = 1

意味: 時間2水準の平均を使うと、1つが自由に決められる

④ 交互作用A×Bの自由度(φA×B)

⚠️ 重要ポイント: 交互作用は「掛け算」です!

φA×B = (a - 1) × (b - 1) = 2 × 1 = 2

なぜ掛け算なのか?
交互作用は「組み合わせの効果」です。
✅ 因子Aで2つの自由度
✅ 因子Bで1つの自由度
✅ その組み合わせ → 2 × 1 = 2

⑤ 誤差の自由度(φe)

φe = φT - φA - φB - φA×B
= 11 - 2 - 1 - 2 = 6

または:
φe = a × b × (r - 1) = 3 × 2 × (2 - 1) = 6

φT = φA + φB + φA×B + φe
11 = 2 + 1 + 2 + 6 ✓

🎓 この記事で学んだこと

✅ 自由度の本質: 自由に決められる数の個数
✅ なぜ「-1」するのか: 平均という制約条件があるから
✅ t検定: n-1、(n₁+n₂-2)、n-1(対応あり)
✅ カイ二乗検定: k-1、(r-1)×(c-1)
✅ 分散分析: 総・群間・群内・交互作用の自由度
✅ 公式暗記ではなく本質理解が重要

🚀 次のアクション

1️⃣ 自分の業務データでt検定を実施し、自由度を計算してみる
2️⃣ QC検定の過去問で分散分析表を作成してみる
3️⃣ この記事をブックマークして、検定のたびに確認する

理解してこそ、真の実力になります!

📚 統計学をもっと深く学ぶ

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