一元配置分散分析の計算｜分散分析表の作り方を例題で全手順マスター

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こんなことで困っていませんか？

分散分析の解説を読んでも、いきなり「修正項CT」「平方和」と専門用語が並んでフリーズする
「分散分析表を作れ」と言われたが、どこから手をつければいいか全くわからない
教科書では計算結果だけ書かれていて、途中式がわからない
F値が出ても、F分布表のどこを見て判定すればいいか自信がない
QC検定・統計検定の過去問で分散分析が出るたびに頭が真っ白になる

○ この記事でわかること

分散分析表が「5ステップ」で必ず埋まる、その完全な手順
修正項CTを「なぜ最初に計算するのか」の理由
平方和を「群間」と「群内」に分解する意味と計算式
自由度φの直感的な意味と計算ルール
F値の出し方とF分布表の正しい引き方
カレーの試食データで、1から分散分析表を完成させるまでの全途中式

結論（答えファースト）

分散分析表は「CT（修正項）→ 平方和S → 自由度φ → 分散V → F値」の順に5ステップで埋めれば必ず完成します。
難しそうに見える数式も、やることは「足す・引く・割る」だけ。
記号アレルギーを克服する最短ルートは、1度だけでいいから途中式を全部書いて手を動かすこと。この記事ではカレーの試食データで、その「1度」を一緒にやります。

この記事の前提
本記事は「分散分析の計算編」です。「なぜ平均の差を分散で見るのか？」という概念編を先に読みたい方は、下記の関連記事を先にチェックしてください。

概念から学びたい方はこちら
分散分析とは？「平均の差」を"分散"で判定する理由を初心者向けに完全図解 →

分散分析表とは？まず完成形を見る

計算手順に入る前に、「ゴールはこれだ！」というイメージを持つことがとても大切です。ここで道に迷わないために、まず完成形を見ておきましょう。

これが分散分析表（ANOVA表）の完成形

要因	平方和 S	自由度 φ	分散 V	F₀	判定
群間（A）	S_A	φ_A	V_A	F₀	**または ns
誤差（e）	S_e	φ_e	V_e	—	—
全体（T）	S_T	φ_T	—	—	—

これからやることは、たった1つ。
「この表のマスを、左から右へ、上から下へ、5ステップで埋めていく」──ただそれだけです。

記号の意味を整理しておく

記号	読み方	意味
CT	シーティー（修正項）	平方和計算の準備に使う"基準値"
S_T	エス・ティー（総平方和）	データ全体のバラつきの合計
S_A	エス・エー（群間平方和）	グループ間のバラつき（因子の効果）
S_e	エス・イー（群内平方和・誤差平方和）	グループ内のバラつき（偶然の誤差）
φ	ファイ（自由度）	平方和を「ならす」ための割る数
V	ブイ（分散・平均平方）	S を φ で割った、ならしたバラつき
F₀	エフ・ゼロ（観測されたF値）	V_A ÷ V_e。差の判定指標

計算の5ステップ｜全体の地図

STEP 1

修正項 CT を計算する
CT = T² ÷ N。すべての平方和計算で使う"出発点"。

STEP 2

平方和 S を3種類計算する
総平方和 S_T、群間平方和 S_A、群内平方和 S_e。S_e = S_T − S_A の引き算でOK。

STEP 3

自由度 φ を計算する
φ_T = N−1、φ_A = a−1、φ_e = N−a。

STEP 4

分散 V を計算する
V = S ÷ φ。割り算するだけ。

STEP 5

F₀ を計算してF分布表で判定する
F₀ = V_A ÷ V_e。F表の値と比較して有意差判定。

ここを覚えておくと一生迷わない
分散分析の計算は「上から下へ流れる」イメージで覚えてください。
CT → 平方和 → 自由度 → 分散 → F値 → 判定。
どこか1つでも怪しくなったら、「自分は今、どのステップにいる？」と問い直すと迷子になりません。

分散分析表の構造と埋める順番の図。要因は群間(A)・誤差(e)・全体(T)、列は平方和S・自由度φ・分散V・F値で、①平方和、②自由度、③全体、④分散、⑤F値の順に埋める。Sとφは足せるが、VとFは足せない — 分散分析表を埋める順番:S・φ→V→F

STEP1：修正項CT（CT）を計算する

分散分析の計算で最初に必ず出てくる謎の記号が「CT」です。
「Correction Term（修正項）」の略で、すべての平方和計算で使う"スタート地点"。
これを最初に押さえれば、あとは芋づる式に表が埋まっていきます。

CTの公式

修正項CTの公式

CT ＝

T²

T：データの合計値（全データを足したもの）
N：データの総数（全データの個数）

CTとは何か？｜なぜ最初に引くのか

CTを一言で説明すると、「全データの平均から計算される基準値」です。
実は、CT = T²/N は 「全データの平均」×「データの合計」と同じ意味。つまり「全体の平均レベルが作るバラつきの基準」を表します。

なぜ CT を引くのか？

平方和を計算するとき、本来なら「各データ − 全体平均」を2乗して合計します。
でも、それを毎回やるのは面倒。そこで数学的に式変形すると、
「データの2乗の合計」− CT
という形でラクに計算できることが分かっています。
つまりCTは、「面倒な引き算をまとめて一発で済ますためのショートカット」なんです。

CTの計算例｜カレーの試食データで実演

例として、3種類のカレー配合（A・B・C）で各5人が試食して10点満点で評価したデータを使います。

配合A	配合B	配合C
6	8	7
7	7	6
5	9	8
6	8	7
6	8	7
合計 30	合計 40	合計 35

各配合の合計、全データの合計、データ数を出します。

配合A合計：6+7+5+6+6 = 30
配合B合計：8+7+9+8+8 = 40
配合C合計：7+6+8+7+7 = 35
T（全データの合計）：30+40+35 = 105
N（全データ数）：5×3 = 15

これでCTが計算できます。

CTの計算

CT = T² ÷ N
　　= 105² ÷ 15
　　= 11025 ÷ 15
　　= 735

よくある間違い
CT = T²/N の T を「全データの平均」と勘違いするミスが多いです。
Tは「全データを足した合計値」。平均ではありません。落ち着いて式を確認しましょう。

修正項CTの図。CT=T²/Nで、Tは全データの合計(平均ではない)。面倒な引き算をまとめて一発で済ませる計算ショートカット — 修正項CT=T²/N:Tは全データの合計

STEP2：平方和を3種類に分解する（計算の心臓部）

ここが分散分析の計算の心臓部です。
全体のバラつき（S_T）を「群間のバラつき（S_A）」と「群内のバラつき（S_e）」に分解します。

平方和分解の公式

平方和の分解公式（超重要）

S_T ＝ S_A ＋ S_e

（全体のバラつき = 群間のバラつき + 群内のバラつき）

計算の裏ワザ

S_T と S_A さえ計算できれば、S_e は 引き算で出せます。
S_e = S_T − S_A
つまり、計算する平方和は実質「S_T と S_A の2つだけ」。これがわかると気持ちが楽になります。

① 総平方和 S_T を計算する

総平方和 S_T は「全データのバラつきの合計」。データ全部を1つの集団とみなしたときのバラつきです。

総平方和 S_T の公式

S_T ＝ Σx² − CT

Σx²：全データを1つずつ2乗してから合計したもの
CT：先ほど計算した修正項（=735）

カレーデータで計算します。各データを2乗して全部足します。

配合A：6² + 7² + 5² + 6² + 6² = 36 + 49 + 25 + 36 + 36 = 182
配合B：8² + 7² + 9² + 8² + 8² = 64 + 49 + 81 + 64 + 64 = 322
配合C：7² + 6² + 8² + 7² + 7² = 49 + 36 + 64 + 49 + 49 = 247

Σx² = 182 + 322 + 247 = 751

S_T の計算

S_T = Σx² − CT
　　= 751 − 735
　　= 16

② 群間平方和 S_A を計算する

群間平方和 S_A は「グループ平均同士のバラつき」。配合A・B・Cの平均がどれだけ離れているかを表します。
これが「因子の効果」に対応します。

群間平方和 S_A の公式

S_A ＝

T₁² + T₂² + … + T_a²

− CT

T_i：i番目のグループの合計値
n：各グループのデータ数（繰返し数）
a：水準数（グループの数）

カレーデータで計算します。

各配合の合計：T_A=30, T_B=40, T_C=35
各配合の2乗：30² + 40² + 35² = 900 + 1600 + 1225 = 3725
n（繰返し数）：各配合5人 → n=5

S_A の計算

S_A = (T_A² + T_B² + T_C²) ÷ n − CT
　　= 3725 ÷ 5 − 735
　　= 745 − 735
　　= 10

③ 群内平方和（誤差平方和）S_e を計算する

ここが裏ワザの出番。S_e は 引き算で一発です。

群内平方和 S_e の公式

S_e ＝ S_T − S_A

S_e の計算

S_e = S_T − S_A
　　= 16 − 10
　　= 6

ここまでの結果を表に書き込む

要因	平方和 S	自由度 φ	分散 V	F₀
群間（A）	10	？	？	？
誤差（e）	6	？	？	—
全体（T）	16	？	—	—

平方和の列がすべて埋まりました。S_A + S_e = 10 + 6 = 16 = S_T となっていることを必ず確認してください。これが検算になります。

平方和の分解の図。全体のばらつきST=16を、群間SA=10と誤差Se=6に分け、Se=ST−SAの引き算で求める — ST=SA+Se:誤差は引き算で求める

STEP3：自由度φを求める

自由度（φ：ファイ）は「平方和をならすときに割る数」。
難しく考える必要はありません。引き算で出るだけです。

自由度の3つの公式

自由度の公式

φ_T（全体の自由度）= N − 1
φ_A（群間の自由度）= a − 1
φ_e（誤差の自由度）= N − a

N：全データ数　　a：水準数（グループ数）

検算もできる

自由度も平方和と同じく φ_A + φ_e = φ_T が成立します。
計算が合っているかを確認するのに便利な性質です。

なぜ「n−1」「a−1」と1引くのか？

「自由度って何？なぜ1引くの？」は、誰もが一度はぶつかる疑問です。
ざっくり言うと、「平均を1つ計算した時点で、自由に動けるデータの数が1個減るから」です。

例えばデータが5個あって、平均が「7」と決まっているとします。
1番目〜4番目は好きな値を入れられますが、5番目だけは「合計が35になるように」自動で決まってしまいます。
つまり、自由に動けるのは 5 − 1 = 4 個。これが自由度の正体です。

カレーデータで自由度を計算

今回のカレー実験は、N=15（5人×3配合）、a=3（配合A・B・C）です。

自由度の計算

φ_T = N − 1 = 15 − 1 = 14
φ_A = a − 1 = 3 − 1 = 2
φ_e = N − a = 15 − 3 = 12

検算：φ_A + φ_e = 2 + 12 = 14 = φ_T ○

要因	平方和 S	自由度 φ	分散 V	F₀
群間（A）	10	2	？	？
誤差（e）	6	12	？	—
全体（T）	16	14	—	—

自由度φの図。平均が決まると最後の1個は自動で決まるので、自由に動けるのはN−1個で、例ではN−1=14 — 自由度がN−1になる理由

STEP4：分散（平均平方 V）を計算する

ここまでくればゴールが見えてきました。
分散 V は「平方和 S を自由度 φ で割るだけ」。電卓があれば数秒で出ます。

分散の公式

分散 V の公式

V ＝

S（平方和）

φ（自由度）

分散 V は「平均平方」とも呼ばれる

分散分析の文脈では、V を 「平均平方（Mean Square）」 と呼ぶこともあります。
意味は同じ。「1個あたりにならしたバラつき」のことです。
平方和（バラつきの合計）を自由度（割る数）で割ると、1個あたりのバラつきになる──そう覚えておけばOK。

V_A と V_e を計算する

分散分析では、必要な分散は V_A（群間分散） と V_e（誤差分散） の2つだけです。
全体分散 V_T は計算しなくてOK（だから表でも「—」になっています）。

分散の計算

V_A = S_A ÷ φ_A = 10 ÷ 2 = 5
V_e = S_e ÷ φ_e = 6 ÷ 12 = 0.5

ここまでの表

要因	平方和 S	自由度 φ	分散 V	F₀
群間（A）	10	2	5	？
誤差（e）	6	12	0.5	—
全体（T）	16	14	—	—

注意：分散は足し算できない
V_A（5）+ V_e（0.5）= 5.5 となりますが、これは V_T ではありません。
「平方和は足せる、自由度も足せる、でも分散は足せない」──これが分散分析のルールです。

STEP5：F₀を求めてF分布表で判定する

いよいよ最後のステップ。「配合の違いに本当に差があるのか？」を判定します。

F₀の公式

F₀ の公式

F₀ ＝

V_A（群間分散）

V_e（誤差分散）

これは「効果の大きさ」÷「誤差の大きさ」。
F₀ が大きいほど、誤差では説明できない差がある、つまり因子の効果があると判定できます。

F₀の計算

F₀ の計算

F₀ = V_A ÷ V_e
　　= 5 ÷ 0.5
　　= 10

F分布表の使い方｜どこを見るのか

F₀ = 10 が出ましたが、これだけでは判定できません。
「F分布表」と呼ばれる表に書かれた基準値（F(φ₁, φ₂; α)）と比較する必要があります。

F分布表の3つの引数

φ₁（分子の自由度）：群間の自由度 φ_A
φ₂（分母の自由度）：誤差の自由度 φ_e
α（有意水準）：普通は 0.05（5%）か 0.01（1%）

F分布表の引き方（実例）

今回は φ₁ = 2、φ₂ = 12、α = 0.05 で表を引きます。

STEP A

F分布表（α=0.05用）を開く

STEP B

横の列から φ₁＝2 を探す

STEP C

縦の列から φ₂＝12 を探す

STEP D

交差点の値を読む → F(2, 12; 0.05) = 3.89

F分布表の例（α=0.05、上側%点）

φ₂ ＼ φ₁	1	2	3	4	5
10	4.96	4.10	3.71	3.48	3.33
11	4.84	3.98	3.59	3.36	3.20
12	4.75	3.89	3.49	3.26	3.11
13	4.67	3.81	3.41	3.18	3.03

上の表で、φ₁=2 と φ₂=12 が交差する場所が 3.89。これが基準値です。

判定ルール

○

F₀ ≧ F表の値

「有意差あり」と判定
→ 配合の違いに本当に差がある
（記号で「**」と書く）

F₀ < F表の値

「有意差なし」と判定
→ 差は誤差の範囲内
（記号で「ns」と書く）

カレーデータの判定

判定

F₀ = 10　vs　F(2, 12; 0.05) = 3.89

10 > 3.89　→　有意差あり（**）

つまり、3つの配合の間には「偶然では説明できない」差があると判定できます。

注意：「どの配合が一番良いか」までは分からない
分散分析で分かるのは「どこかに差がある」ということだけです。
「A対B」「B対C」など、どの組み合わせに差があるかを調べるには、多重比較法（テューキー法など）を別途行う必要があります。

F分布と棄却域の図。F(2,12;0.05)=3.89より右が棄却域(5%)で、F0=10は棄却域に入るので有意差あり — F0=10は棄却域に入り有意差あり

例題：カレーの試食データで分散分析表を1から完成させる

ここまでの5ステップを一気に通して復習しましょう。
この章では、データを見るところから判定までを1問通しで解きます。手元に紙と電卓を用意して、一緒に手を動かしてください。

問題設定

問題

あるカレー店で、3種類のスパイス配合（A・B・C）を試作し、それぞれ5人の評価員に10点満点で採点してもらった。
配合によって評価点に差があると言えるか、有意水準 α = 0.05 で分散分析を行いなさい。

No.	配合A	配合B	配合C
1	6	8	7
2	7	7	6
3	5	9	8
4	6	8	7
5	6	8	7
合計	30	40	35
平均	6.0	8.0	7.0

解答｜5ステップで一気に解く

STEP 1：CT

T = 30 + 40 + 35 = 105　　N = 5×3 = 15
CT = T² ÷ N = 105² ÷ 15 = 11025 ÷ 15 = 735

STEP 2：平方和

【Σx²の計算】
A：6²+7²+5²+6²+6² = 182
B：8²+7²+9²+8²+8² = 322
C：7²+6²+8²+7²+7² = 247
Σx² = 182 + 322 + 247 = 751

【総平方和】
S_T = Σx² − CT = 751 − 735 = 16

【群間平方和】
S_A = (30² + 40² + 35²) ÷ 5 − 735 = 3725 ÷ 5 − 735 = 745 − 735 = 10

【誤差平方和】
S_e = S_T − S_A = 16 − 10 = 6

STEP 3：自由度

φ_T = N − 1 = 15 − 1 = 14
φ_A = a − 1 = 3 − 1 = 2
φ_e = N − a = 15 − 3 = 12

STEP 4：分散

V_A = S_A ÷ φ_A = 10 ÷ 2 = 5
V_e = S_e ÷ φ_e = 6 ÷ 12 = 0.5

STEP 5：F値と判定

F₀ = V_A ÷ V_e = 5 ÷ 0.5 = 10

F(2, 12; 0.05) = 3.89　　→　F₀ = 10 > 3.89

∴ 有意差あり（**）：配合の違いが評価点に影響している

完成した分散分析表

要因	平方和 S	自由度 φ	分散 V	F₀	判定
群間（A）	10	2	5.0	10.0	**
誤差（e）	6	12	0.5	—	—
全体（T）	16	14	—	—	—

おめでとうございます！

これで分散分析表が1から完成しました。
「データを見たら → 5ステップで表を埋めて → F分布表と比較して判定」。
この型さえ覚えれば、データが変わってもまったく同じ手順で解けます。

一元配置の分散分析の5ステップの例の図。CT=735、ST=16・SA=10・Se=6、φT=14・φA=2・φe=12、VA=5・Ve=0.5、F0=10>3.89で有意 — 分散分析の計算5ステップの数値例

よくあるつまずきポイントと対処法

分散分析の計算でつまずく定番ポイントを5つ、対処法とセットで紹介します。

つまずき①｜平方和の検算が合わない

× 症状
S_A + S_e が S_T と一致しない

○ 対処法
まずCTを計算し直す。CT = T²/N で、T は全データの合計（平均ではない）。
次に Σx² を確認。「2乗してから足す」。「足してから2乗」ではない。
最後にS_Aの式 (T_A² + T_B² + T_C²)/n を確認。グループ合計の2乗を足してからnで割る。

つまずき②｜自由度を間違える

× 症状
「N」と「a」と「n」がごちゃごちゃになる

○ 対処法
記号を一覧で整理すること：
N = 全データ数（カレー例：15）
a = 水準数（カレー例：3）
n = 各水準のデータ数（カレー例：5）
そして、N = a × n の関係を必ず確認する。

つまずき③｜分散も足し算できると思ってしまう

× 症状
V_A + V_e = V_T だと思って計算してしまう

○ 対処法
足し算が成立するのは「平方和」と「自由度」だけ。
「分散」と「F値」は足し算できません。分散分析表でも、V_T の欄は「—」になっています。

つまずき④｜F分布表のφ₁とφ₂を逆に引く

× 症状
F表で φ₁ と φ₂ を取り違えて、間違った基準値で判定する

○ 対処法
F₀ = V_A ÷ V_e の分子の自由度がφ₁（=φ_A）、分母の自由度がφ₂（=φ_e）。
F分布表は「横軸＝分子の自由度」「縦軸＝分母の自由度」と覚える。

つまずき⑤｜有意差ありで満足してしまう

× 症状
「有意差あり」で結論を終え、「どの配合が一番良いのか」を答えない

○ 対処法
分散分析が言うのは「どこかに差がある」だけ。「Bが一番」と結論するには多重比較法か、各水準の母平均の点推定・区間推定を別途行う。
分散分析はゴールではなく、「次の解析への入口」と覚えておく。

分散分析の計算でつまずく5つのポイントの図。CTのTは全データの合計で平均ではない、N・a・nの自由度を取り違えない、足し算できるのは平方和と自由度だけ、F表は分子がφ1で分母がφ2、有意差ありのあとは多重比較や推定で比べる — 分散分析でつまずく5つのポイントと対処法

よくある質問（FAQ）

Q1. 修正項CTを使わずに計算する方法はありますか？

あります。「各データ − 全体平均」を全部2乗して足せば、CTを使わずに S_T が計算できます。ただし手計算では非常に面倒。CT方式の方が圧倒的にラクです。QC検定でも統計検定でも、CT方式が標準的に使われています。

Q2. 繰返し数が水準ごとに違っても計算できますか？

できます。ただし S_A の式が少し変わります。
S_A = T_A²/n_A + T_B²/n_B + T_C²/n_C − CT
（各水準ごとに合計の2乗をそのデータ数で割る）。本記事のように繰返し数が同じなら、全体をnで割れます。

Q3. Excelで分散分析できますか？

できます。「データ」タブ→「データ分析」→「分散分析：一元配置」を選ぶだけで、本記事の表とまったく同じ結果が出ます。ただし手計算を一度経験せずにExcelに頼ると、出力結果の意味がわからなくなるのでおすすめしません。

Q4. 「**」と「*」の違いは何ですか？

慣習として、「*」は α=0.05 で有意（少し差がある）、「**」は α=0.01 で有意（はっきり差がある）を表します。本記事のカレー例では、α=0.01の基準値 F(2, 12; 0.01) = 6.93 と比較すると F₀=10 > 6.93 なので、「**」を付けても問題ありません。

Q5. データに外れ値があるときはどうしますか？

分散分析は外れ値の影響を受けやすい手法です。明らかな異常値（記入ミス、実験ミスなど）は除外する、またはノンパラメトリック検定（クラスカル・ウォリス検定）に切り替えるなどの対応が必要。「データの正規性」と「等分散性」が分散分析の前提なので、事前にヒストグラムや箱ひげ図で確認することをおすすめします。