第3回：平均値の奥深い世界

はじめに

「平均」と聞いて、多くの人が思い浮かべるのは「全部足して個数で割る」という計算方法でしょう。でも実は、「平均」には複数の種類があり、状況によって使い分ける必要があるんです。

例えば、「投資の平均利回り」「車の平均速度」「クラスの平均点」では、それぞれ異なる平均の計算方法が適している場合があります。また、クラスに一人だけ100点満点のテストで300点（不正解答）を取った生徒がいたら、クラス全体の平均は大きく歪んでしまいますよね。

今回は、私たちが普段何気なく使っている「平均」の奥深い世界を探検し、どんな時にどの平均を使うべきか、そして平均値の限界について学んでいきましょう。

3つの主要な平均

算術平均（いつもの平均）

算術平均は、私たちが最もよく知っている「普通の平均」です。すべての値を足して、データの個数で割ります。

計算式

算術平均 = (データの合計) ÷ (データの個数)

身近な例：クラスのテスト結果

5人のテスト結果：80点、85点、90点、75点、70点
算術平均 = (80 + 85 + 90 + 75 + 70) ÷ 5 = 400 ÷ 5 = 80点

算術平均が適している場面

テストの平均点
平均身長・平均体重
平均気温
一般的な集計・比較

幾何平均（成長率や比率の平均）

幾何平均は、比率や成長率のデータに適した平均です。掛け算の関係にあるデータで真の中心を表します。

計算式

幾何平均 = n個のデータの積のn乗根
        = (データ1 × データ2 × ... × データn)^(1/n)

身近な例：投資の年平均成長率

3年間の投資成果：

1年目：+10%（1.10倍）
2年目：+20%（1.20倍）
3年目：-5%（0.95倍）

算術平均を使うと：
(10% + 20% + (-5%)) ÷ 3 = 8.33%

幾何平均を使うと：
(1.10 × 1.20 × 0.95)^(1/3) = (1.254)^(1/3) = 1.078
→ 年平均成長率：7.8%

実際の計算確認

100万円 × 1.10 × 1.20 × 0.95 = 125.4万円
100万円 × (1.078)³ = 125.2万円

幾何平均の方が実際の成果により近い値を示します！

幾何平均が適している場面

投資の平均リターン
人口増加率
インフレ率
細菌の増殖率

調和平均（速度や効率の平均）

調和平均は、比率や速度のような「単位時間あたり」のデータに適した平均です。

計算式

調和平均 = データの個数 ÷ (各データの逆数の合計)
        = n ÷ (1/データ1 + 1/データ2 + ... + 1/データn)

身近な例：往復の平均速度

家から学校まで：

行き：時速60km（1km走るのに1分）
帰り：時速30km（1km走るのに2分）

算術平均を使うと：
(60 + 30) ÷ 2 = 45km/h

調和平均を使うと：
2 ÷ (1/60 + 1/30) = 2 ÷ (1/60 + 2/60) = 2 ÷ (3/60) = 40km/h

実際の確認 距離6kmの場合：

行き：6km ÷ 60km/h = 0.1時間（6分）
帰り：6km ÷ 30km/h = 0.2時間（12分）
合計：12km ÷ 0.3時間 = 40km/h

調和平均が正しい平均速度を示します！

調和平均が適している場面

往復の平均速度
作業効率の平均
電気回路の並列抵抗
価格の平均（株式投資のドルコスト平均法）

3つの平均の関係

一般的に、同じデータに対して「調和平均 ≤ 幾何平均 ≤ 算術平均」の関係が成り立ちます。

具体例で確認 データ：2, 8

算術平均：(2 + 8) ÷ 2 = 5.0
幾何平均：√(2 × 8) = √16 = 4.0  
調和平均：2 ÷ (1/2 + 1/8) = 2 ÷ (5/8) = 3.2

結果：3.2 ≤ 4.0 ≤ 5.0

この関係は「平均の不等式」として数学的に証明されています。

外れ値に対する頑健性

外れ値とは何か

外れ値（アウトライアー）とは、他のデータから大きく外れた極端な値のことです。

身近な例：年収データ

一般社員5人の年収：
400万円、450万円、380万円、420万円、350万円
→ 算術平均：400万円

ここに社長（年収3000万円）が加わると：
400, 450, 380, 420, 350, 3000万円
→ 算術平均：833万円

たった一人のデータで平均が2倍以上になってしまいました！

各平均の外れ値への影響

平均の種類	外れ値への影響	頑健性
算術平均	非常に大きい	低い
幾何平均	大きい	中程度
調和平均	小さい	高い

実際の比較 データ：1, 2, 3, 4, 100（100が外れ値）

算術平均：(1+2+3+4+100) ÷ 5 = 22.0
幾何平均：(1×2×3×4×100)^(1/5) = (2400)^(1/5) = 4.7
調和平均：5 ÷ (1/1+1/2+1/3+1/4+1/100) = 5 ÷ 2.35 = 2.1

調和平均が最も外れ値の影響を受けにくいことが分かります。

外れ値対策

1. 中央値の活用 中央値は外れ値に対して非常に頑健です。

上記の年収例：350, 380, 400, 420, 450, 3000万円

算術平均：833万円
中央値：410万円（3番目と4番目の平均）

2. トリム平均（刈り込み平均） 上下の極端な値を除外してから平均を計算：

元データ：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 100
20%トリム平均：上下20%（2個ずつ）を除外
→ 3, 4, 5, 6, 7, 8の平均 = 5.5

3. ウィンザー化 極端な値を一定の値に置き換える方法。

平均値が意味を持つ条件

条件1：データの性質を理解する

データの尺度（前回学習）によって、使える平均が決まります。

データの尺度	使える平均
名義尺度	最頻値のみ
順序尺度	中央値（平均は厳密には不適切）
間隔尺度	算術平均
比例尺度	算術平均、幾何平均、調和平均

条件2：分布の形を考慮する

正規分布に近い場合 算術平均が最も適切で、平均値＝中央値≒最頻値

右に歪んだ分布（年収、資産など）

例：年収分布
多くの人：300-600万円
少数の人：数千万円～億円
→ 平均 > 中央値

この場合、中央値の方が「一般的な年収」を表します。

左に歪んだ分布（寿命、試験の点数など）

例：製品の寿命
多くの製品：長持ち
少数の製品：早期故障
→ 平均 < 中央値

条件3：目的に応じた平均の選択

予算配分を考える場合 → 算術平均（総額を人数で割る）

成長率を評価する場合
→ 幾何平均（複利効果を考慮）

効率や速度を評価する場合 → 調和平均（時間の重み付け）

代表的な値を知りたい場合 → 中央値（外れ値の影響を避ける）

実践：適切な平均を選ぼう

ケーススタディ1：マラソンの記録

あるマラソン大会の記録（分：秒）： 180:30, 185:15, 190:45, 195:20, 200:10, 280:30

問題：代表的な記録は？

分析：

算術平均：205:15（8人目の選手の影響で遅くなりすぎ）
中央値：192:52（より代表的）

結論：中央値が適切

ケーススタディ2：投資ファンドの成績

3年間のリターン：+15%, -5%, +8%

問題：年平均リターンは？

分析：

算術平均：6.0%
幾何平均：(1.15 × 0.95 × 1.08)^(1/3) - 1 = 5.8%

結論：幾何平均が実際の複利効果を反映

ケーススタディ3：通勤時間

往復の通勤：

朝（混雑）：時速20km
夜（空いている）：時速40km

問題：平均速度は？

分析：

算術平均：30km/h
調和平均：26.7km/h

結論：調和平均が実際の平均速度

よくある間違いと注意点

間違い1：パーセンテージの算術平均

❌ 間違い：
年度別成長率：+10%, +20%, -5%
平均成長率：(10+20-5) ÷ 3 = 8.33%

✅ 正しい：
幾何平均：(1.10×1.20×0.95)^(1/3) - 1 = 7.8%

間違い2：比率データの平均

❌ 間違い：
燃費データ：15km/L, 20km/L, 25km/L
平均：20km/L

✅ より正確：
調和平均を考慮すべき場合もある

間違い3：外れ値の無視

外れ値を見つけたら：

データエラーかチェック
意味のある外れ値か判断
適切な統計量を選択

まとめ

「平均」は一つではありません。データの性質と分析の目的に応じて、適切な平均を選択することが重要です。

今日のポイント

✅ 算術平均：一般的な平均、外れ値に弱い
✅ 幾何平均：成長率や比率データに適している
✅ 調和平均：速度や効率データに適している
✅ 外れ値の影響：調和平均 < 幾何平均 < 算術平均
✅ 中央値：外れ値に頑健な代表値

次回は「中央値と最頻値」について詳しく学びます。平均値以外の代表値がなぜ重要なのか、どんな時に使い分けるべきかを、実例とともに解説していきます！