共分散とは簡単にいうと？

2つのデータが同じ向きに動くか、逆向きに動くかを表す数です。プラスなら同じ向き、マイナスなら逆向きです。

共分散の求め方は？

xとyの偏差を1点ずつかけて合計し、個数で割ります。「xyの平均−x̄ȳ」でも求められます。

共分散は単位で大きさが変わり、向きだけがわかります。相関係数は−1〜＋1にそろえ、強さもわかります。

手元のデータの要約はn、母集団を推定する不偏共分散はn−1で割ります。問題の定義に合わせます。

nで割るならCOVARIANCE.P、n−1で割るならCOVARIANCE.S関数を使います。

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工場の室温が高い日ほど、樹脂部品の寸法が伸びている気がする。この「一緒に動く度合い」を1つの数で表せないか。

共分散とは、各データの「x の平均からのずれ」と「y の平均からのずれ」をかけ、その平均をとった値です。かけ算の符号で、2つが同じ向きにずれたか逆向きかがわかります。

点の場所	x の偏差	y の偏差	かけ算
右上（両方とも平均より大きい）	＋	＋	＋
左下（両方とも平均より小さい）	−	−	＋
右下・左上（逆向き）	＋と− の組		−

右上と左下の点が多ければ共分散はプラス、右下と左上が多ければマイナス、まんべんなく散らばれば0に近くなります。

例題：5日間の工場の室温 x（℃）と、樹脂部品の寸法の伸び y（μm）です（説明のために作った数字）。

日	室温 x	伸び y	x の偏差	y の偏差	偏差の積
1	20	10	−4	−6	24
2	22	14	−2	−2	4
3	24	16	0	0	0
4	26	18	＋2	＋2	4
5	28	22	＋4	＋6	24
合計	120	80	0	0	56

偏差を出さずに、共分散＝(xy の平均)−(x の平均)×(y の平均) でも求められます。電卓で計算するときに便利です。

例題では xy が 200・308・384・468・616 で合計1,976、平均 395.2。395.2−24×16＝395.2−384＝11.2 で同じ答えです。大きな数どうしの引き算になるので、途中で四捨五入すると誤差が出やすい点には気をつけます。

共分散は単位によって大きさが変わり、相関係数は変わりません。関係の強さを比べたいときは相関係数を使います。

例題では x の標準偏差 √8≒2.83、y の標準偏差 4（どちらも n で割った値）。r＝11.2÷(2.83×4)＝0.990 で、とても強い正の相関です。

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同じデータなのに、単位を変えただけで共分散は 11.2 から 0.02016 になりました。共分散の大きさだけで「関係が強い」とは判断できない理由です。

標本共分散とは、標本から母集団の共分散を見積もるために、偏差の積の合計を n−1 で割った値です。n で割ると、平均として真の値より小さく出るためです。

理由は、偏差を「標本の平均」から測っているからです。標本の平均は、そのデータにいちばん近い位置に来るので、母集団の本当の平均から測るより偏差が小さめに出ます。n−1 で割ると、この小さく出る分がちょうど打ち消されます。考え方は分散の n−1 と同じ。自由度の話につながります。

確かめるために、真の共分散が 0.6 になる母集団から5個ずつ取って共分散を計算する作業を、乱数で4万回くり返しました。n で割った値の平均は約 0.48、n−1 で割った値の平均は約 0.60。n で割ると2割小さい。5個なら 4/5 倍です。

割る数	例題の値	Excel	使う場面
n（5）	56÷5＝11.2	COVARIANCE.P	手元のデータそのものを要約する
n−1（4）	56÷4＝14	COVARIANCE.S	標本から母集団を見積もる（QC検定・統計検定）

標本相関係数は、分子と分母を同じ数で割るので、n で割っても n−1 で割っても同じ値になります。例題は 14÷(√10×√20)＝14÷14.14＝0.990 で、上と一致します。

資料によって、共分散の定義に n を使うものと n−1 を使うものがあります。この記事は、手計算の説明では n、母集団を見積もる場面では n−1 と書き分ける形を採りました。試験の問題では、どちらで割るかが問題文に書いてあるので、そこを先に読みます。