こんにちは、シラスです。
前回の記事で、データの「底上げ分（下駄）」を取り除く修正項（CT）について解説しました。
この修正項を手に入れたことで、私たちはついに統計学で最も重要な指標である「平方和（S）」を、電卓で簡単に計算できる武器を手に入れました。
しかし、実験計画法や分散分析表（ANOVA）を見ると、平方和（S）の隣には必ず「自由度（f）」というパートナーがいます。
「Sとf、この2つはどういう関係なの？」
「なぜセットで計算するの？」
今日は、この2つの関係性を「お肉のパック（価格とグラム数）」に例えて、直感的に解説します。
目次
1. 平方和（S）とは「データの総エネルギー」
まずは平方和（Sum of Squares）です。
これは、文字通り「2乗（平方）の合計（和）」ですが、イメージとしては「ズレの総エネルギー」だと思ってください。
データそれぞれの「高さ」を2乗して足し合わせ、そこから「平均的な高さ（CT）」を引くことで、純粋な「バラつきの大きさ」だけを取り出します。
この計算で出た数値（S）は、データのバラつきが大きければ大きいほど、巨大な数字になります。
2. 自由度（f）とは「エネルギーの広さ」
次に自由度（df / f）です。
これは「自由に動けるデータの数」のことですが、計算上は「エネルギーが分散している広さ（個数）」だとイメージしてください。
基本的には以下の式で求めます。
※なぜ1を引くのかについては、以前の記事「【図解】不偏分散はなぜn-1で割るのか？」で詳しく解説していますが、ここでは「Sを割るための分母」と覚えておけばOKです。
3. Sとfの関係＝「お肉のパック」の値段
ここからが本題です。
なぜ、分散分析表では「S」と「f」が必ずセットで書かれているのでしょうか？
それは、「S（平方和）」単体では、バラつきの激しさを比較できないからです。
-
パックA： 1000円（S）
「高い！」と思いますか？ でも、もしこれが「10kg」入っていたら？ -
パックB： 500円（S）
「安い！」と思いますか？ でも、もしこれが「10g」しか入っていなかったら？
そうなんです。
平方和（S）は、データ数が増えれば増えるほど、どんどん足し算されて大きくなってしまう「総額（トータルプライス）」なのです。
データ数が違う実験同士を比べるためには、「単価（1単位あたりのバラつき）」に直す必要があります。
そこで生まれたのが「分散（V）」
総額（S）を、個数（f）で割ることで、「単価」が出ます。
この単価こそが、私たちが最終的に欲しい「分散（V：Variance）」です。
- 平方和（S）： ズレの総エネルギー（総額）
- 自由度（f）： 割る数（グラム数）
- 分散（V）： 規格化されたズレの勢い（グラム単価）
実験計画法では、この「V（単価）」を使って、「A工場（V=100）は、B工場（V=10）よりもバラつきが10倍大きい！」といった判定（F検定）を行います。
4. 実践：数値で計算してみよう
では、前回使ったデータ {3, 4, 5} を使って、S, f, V を一気に計算してみましょう。
ステップ1：修正項（CT）を出す
合計 T = 12、データ数 N = 3 なので、
ステップ2：平方和（S）を出す
生の2乗和からCTを引きます。
(32 + 42 + 52) = 50 なので、
これで「総エネルギーは 2 だ」と分かりました。
ステップ3：自由度（f）を出す
データ数は3つなので、
ステップ4：分散（V）を出す
最後に割り算をして「単価」を出します。
このデータの不偏分散は「1」です。
（実際に {3, 4, 5} の分散をExcelなどで計算してみてください。ちゃんと1になります！）
まとめ
平方和（S）と自由度（f）の関係は、切っても切れない関係です。
分散分析表（ANOVA）を作るときは、ただ機械的に計算するのではなく、
「まずは総額（S）を出して、それを個数（f）で割って、単価（V）を出しているんだな」
とイメージしながら計算すると、ミスの発見も早くなりますよ。
