カイ二乗検定（母分散）「この機械、バラつき増えてない？」を1つのデータで検証する手順

こんにちは、シラスです。

製造現場や品質管理の仕事をしていると、平均値（ズレ）よりも「バラつき」の方が気になる瞬間があります。

「最近、この加工機の精度が落ちてきた気がする…」
「新しい材料に変えたら、寸法のブレが大きくなったかも？」

平均値がど真ん中でも、バラつきが大きければ不良品は発生します。
技術者としては、感覚だけでなく、データで「バラつきが増えた（精度が落ちた）」ことを証明しなければなりません。

そんな時に使うのが、今回紹介する「母分散の検定（カイ二乗検定）」です。

1. 何をする検定なのか？
2. 検定統計量 $\chi^2$ の計算式
3. 実践：機械の精度を判定してみよう
4. あれ？表の値が左右で違う…？
まとめ

1. 何をする検定なのか？

この検定は、手元のデータ（標本分散）が、「基準となるバラつき（母分散）」と比べて異常に大きいか？を判定するものです。

📊 検定の目的

基準値： いつものバラつき（標準値 $\sigma_0^2$）
現状： 今日のデータのバラつき（不偏分散 $V$）

「今日のバラつき $V$ は、いつもの $\sigma_0^2$ と比べて、誤差の範囲内か？それとも故障と言えるレベルか？」

これに白黒つけるのがカイ二乗検定です。

2. 検定統計量 $\chi^2$ の計算式

判定に使う数値（統計量）は、ギリシャ文字のカイ（$\chi$）を使って表します。
式はとてもシンプルです。

$$ \chi_0^2 = \frac{(n-1)V}{\sigma_0^2} $$

または、平方和 $S$ を使ってこう書くこともあります。

$$ \chi_0^2 = \frac{S}{\sigma_0^2} $$

この式が意味しているのは、「基準（分母）に対して、現状のズレ（分子）が何倍あるか？」という比率です。

もしバラつきが基準通りなら、値は自由度 $(n-1)$ くらいになります。
もしバラつきが異常に大きければ、この値はドーンと跳ね上がります。

3. 実践：機械の精度を判定してみよう

では、具体的な数値でやってみましょう。

🏭 ケーススタディ

ある部品カット機の管理基準は、標準偏差 $\sigma = 0.1$（分散 $\sigma^2 = 0.01$）です。

今日、製品を $n=10$ 個抜き取って検査したところ、不偏分散は $V = 0.025$ でした。
「分散が2.5倍にもなっている！これは機械の異常か？」

（有意水準 $\alpha = 5\%$ で片側検定します）

ステップ1：仮説を立てる

帰無仮説 ($H_0$)： バラつきは変わっていない（$\sigma^2 = 0.01$）
対立仮説 ($H_1$)： バラつきは大きくなった（$\sigma^2 > 0.01$）

ステップ2：統計量 $\chi_0^2$ を計算する

先ほどの公式に代入します。
（※スマホで見やすいように式を改行しています）

$$ \begin{aligned} \chi_0^2 &= \frac{(10-1) \times 0.025}{0.01} \\ &= \frac{0.225}{0.01} \\ &= \mathbf{22.5} \end{aligned} $$

ステップ3：判定基準（限界値）を調べる

ここで「カイ二乗分布表」を使います。
試験や実務で使う表から、必要な部分を抜き出してみました。

見るべきポイントは以下の2つだけです。

縦の列（自由度）： $n-1$ なので 9 の行を見る。
横の行（確率）： 5%（0.05）の列を見る。

自由度 $\phi$	0.10 (10%)	0.05 (5%)	0.01 (1%)
8	13.36	15.51	20.09
9	14.68	16.92	21.67
10	15.99	18.31	23.21

縦の「9」と、横の「0.05」がぶつかる場所にある数字。
それが 16.92 です。

これが今回の「デッドライン（棄却限界値）」になります。
この数値を超えてしまったら、「偶然のバラつき」としては説明がつかない異常事態だと判断します。

ステップ4：結論

計算値：22.5
基準値：16.92

22.5 ＞ 16.92 なので、デッドラインを大きく超えています。
判定：有意である（帰無仮説を棄却）。

つまり、「今日の機械は、明らかにいつもよりバラつきが大きい（異常だ）」と結論づけられます。

4. あれ？表の値が左右で違う…？

さて、ここで鋭い方は、カイ二乗分布表を見てあることに気づくはずです。

正規分布（t検定など）のときは、分布が左右対称だったので、プラスの値だけ見ておけばOKでした。

しかし、カイ二乗分布表には「上側確率」と「下側確率」という欄があり、値が全然違います。

自由度9のとき：
・上側 5%（右端） = 16.92
・下側 5%（左端） = 3.33

「えっ、中心（0）からプラスマイナスじゃないの？」
「3.33って何？どうやって使い分けるの？」

実は、これがバラつきの検定（カイ二乗分布）の最大の罠であり、特徴でもある「非対称性」なのです。

まとめ

まずは、1つのデータセットに対して「バラつきの異常」を見抜く手順を解説しました。

✅ 目的： 基準値に対してバラつきが増えたかを判定する。

✅ 計算： $\chi^2 = (n-1)V \div \sigma_0^2$

✅ 注意： 分布表を見る時、左右の値が違うことに気をつける。

では、なぜカイ二乗分布は左右で形が歪んでいるのでしょうか？
これを理解すると、統計学の「バラつき」に対する考え方がストンと腹に落ちます。

次回は、この「カイ二乗分布の非対称性の謎」に迫ります。