【計算例あり】母平均の区間推定｜95%信頼区間の意味と計算方法

🤔 こんな疑問、ありませんか？

「平均は50.5mmです」って言われたけど、どのくらい信頼できるの？
「95%信頼区間」ってよく聞くけど、何が95%なの？
検定と推定って何が違うの？
区間推定の計算方法を具体的に知りたい…

💡 この記事の結論

区間推定とは、「真の平均値（母平均）はこの範囲のどこかにある」と幅を持たせて推定する方法です。

「50.5mmです！」と言い切るより、「48.2〜52.8mmの間です」と言う方が誠実で科学的。
この「幅」を計算するのが区間推定です。

📚 この記事でわかること

「点推定」と「区間推定」の違い
「95%信頼区間」の正しい解釈（よくある誤解を解消）
母平均の区間推定の計算公式と具体例
検定と推定の使い分け

📖 この記事を読む前に

t分布や標準誤差の基礎がわかっていると、この記事がスムーズに読めます。

→ t分布とは？を復習 → 標準偏差と標準誤差の違い

なぜ「区間」で推定するのか？
- 🎯 例え話：的当てゲームで考える
- 📊 統計学での「点推定」と「区間推定」
「95%信頼区間」の正しい解釈
母平均の区間推定の公式
【計算例】部品の平均寸法を推定する
- 📋 問題設定
- 📝 結論の書き方
検定と推定の違い
- ⚖️ 「検定」と「推定」は兄弟のような関係
まとめ：母平均の区間推定のポイント
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なぜ「区間」で推定するのか？

まず、点推定と区間推定の違いを理解しましょう。

🎯 例え話：的当てゲームで考える

友達が「真ん中に当たった！」と主張しています。
でも、あなたは的を見ていませんでした。

点推定

🎯

「ど真ん中に当たった！」
と言い切る

外れてたら恥ずかしい…

区間推定

🎯

「この範囲のどこかに
当たった」と幅を持たせる

外れにくい！誠実！

→ 区間推定は「外れにくい予測」ができる誠実な方法なのです。

📊 統計学での「点推定」と「区間推定」

比較項目	点推定	区間推定
表現方法	「母平均は50.5です」	「母平均は48.2〜52.8の間です」
使う値	標本平均 x̄ のみ	x̄ ± t × 標準誤差
信頼度	不明（当たるかどうかは運次第）	明示できる（95%など）
メリット	シンプル・わかりやすい	不確実性を含めて表現できる
デメリット	「どのくらい正確か」がわからない	計算がやや複雑

💡 ポイント

点推定は「当たるかどうかわからない1点」。
区間推定は「95%の確率で当たる範囲」。

科学論文やビジネスレポートでは、区間推定の方が信頼されるのはこのためです。

「95%信頼区間」の正しい解釈

ここで、最もよくある誤解を解消しておきましょう。

❌ よくある誤解

誤った解釈

「95%信頼区間が48.2〜52.8ということは、
母平均が48.2〜52.8の間にある確率が95%である」

→ これは間違いです！

✅ 正しい解釈

正しい解釈

「同じ方法で100回調査したら、
そのうち95回は真の母平均を含む区間が得られる」

🎣 例え話：釣りで考える

池にいる魚（母平均）を網（信頼区間）で捕まえようとしています。

誤った考え方：「今投げた網の中に魚がいる確率が95%」

→ 魚は決まった場所にいる。網の中にいるか、いないかの2択。確率ではない。

正しい考え方：「この方法で100回網を投げたら、95回は魚が入る」

→ 網の投げ方（推定方法）の信頼性が95%ということ。

🧠 つまり…

母平均（真の値）は固定された1つの値です。動きません。
動くのは私たちが計算する信頼区間の方です。

100回調査すれば100個の異なる信頼区間ができますが、
そのうち95個は真の母平均を含んでいる…というのが正しい解釈です。

母平均の区間推定の公式

📐 公式（母分散が未知の場合）

95%信頼区間の公式

x̄ − t × (s/√n)　≦　μ　≦　x̄ + t × (s/√n)

各記号の意味を確認しましょう。

記号	意味
x̄	標本平均（サンプルの平均値）
μ	母平均（推定したい真の値）
s	標本標準偏差（不偏分散の平方根）
n	サンプルサイズ（データの個数）
t	t分布の臨界値（自由度n-1、信頼度に対応）
s/√n	標準誤差（Standard Error, SE）

🎯 公式のイメージ

📏 信頼区間 = 標本平均 ± 「のりしろ」

x̄ 　±　 t × (s/√n)

↑中心　　　　↑のりしろ（マージン）

中心：標本平均 x̄（「ここだろう」という最良の推定値）
のりしろ：t × 標準誤差（「でも、これくらいズレるかも」という余裕）

🔍 「のりしろ」を決める3つの要素

① t値（信頼度）

95%信頼区間なら t は約2。99%信頼区間なら t は約2.6。
信頼度を上げる → t値が大きくなる → 区間が広くなる

② s（標準偏差）

データのバラつきが大きい → s が大きい → 区間が広くなる
バラつきが大きいほど、推定の不確実性が増す

③ n（サンプルサイズ）

サンプル数が多い → √n が大きい → 区間が狭くなる
データが多いほど、推定の精度が上がる

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標準偏差と標準誤差の違いは？「ポテトチップス」で解説 →

【計算例】部品の平均寸法を推定する

📋 問題設定

🔧 製造部品の品質管理

ある工場で製造している部品の母平均（真の平均寸法）を推定したい。
10個の部品をランダムに抽出して測定したところ、以下のデータが得られました。

95%信頼区間を求めてください。

📊 測定データ（単位：mm）

50.2, 49.8, 50.5, 50.1, 49.9, 50.3, 50.0, 50.4, 49.7, 50.1

📝 STEP 1：標本平均 x̄ を計算

合計：50.2 + 49.8 + 50.5 + 50.1 + 49.9 + 50.3 + 50.0 + 50.4 + 49.7 + 50.1 = 501.0

x̄ = 501.0 ÷ 10 = 50.10 mm

📝 STEP 2：標本標準偏差 s を計算

各データと平均の偏差の2乗を計算し、合計します。

データ x	x − x̄	(x − x̄)²
50.2	0.1	0.01
49.8	−0.3	0.09
50.5	0.4	0.16
50.1	0.0	0.00
49.9	−0.2	0.04
50.3	0.2	0.04
50.0	−0.1	0.01
50.4	0.3	0.09
49.7	−0.4	0.16
50.1	0.0	0.00
合計		0.60

不偏分散 s² = 0.60 ÷ (10 − 1) = 0.60 ÷ 9 ≈ 0.0667

s = √0.0667 ≈ 0.258 mm

📝 STEP 3：標準誤差を計算

標準誤差 SE = s / √n = 0.258 / √10 = 0.258 / 3.162

SE ≈ 0.082 mm

📝 STEP 4：t値を確認

自由度 df = n − 1 = 10 − 1 = 9

95%信頼区間（両側5%）のt値をt分布表から確認：

t(0.025, 9) = 2.262

📝 STEP 5：信頼区間を計算

のりしろ = t × SE = 2.262 × 0.082 ≈ 0.185 mm

下限：50.10 − 0.185 = 49.915 mm

上限：50.10 + 0.185 = 50.285 mm

📊 結果

95%信頼区間：49.92 mm ≦ μ ≦ 50.29 mm

📝 結論の書き方

「10個の部品を測定した結果、標本平均は50.10 mmであった。
母平均の95%信頼区間は49.92〜50.29 mmと推定される。

この結果は、同様の調査を100回行った場合、約95回は真の母平均がこの区間に含まれることを意味する。」

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検定と推定の違い

⚖️ 「検定」と「推定」は兄弟のような関係

比較項目	検定	推定
目的	仮説が正しいか判定	値を推測する
問いかけ	「50mmと違うか？」	「何mmか？」
答え方	Yes/No（有意差あり/なし）	範囲（48.2〜52.8mm）
使う場面	規格との比較、効果の有無	真の値を知りたいとき

💡 実は裏表の関係！

95%信頼区間に「規格値50mm」が含まれていれば、検定でも「有意差なし」になります。
信頼区間に「規格値50mm」が含まれていなければ、検定でも「有意差あり」になります。

つまり、区間推定の結果から検定の結論もわかるのです！

まとめ：母平均の区間推定のポイント

区間推定とは	母平均が「この範囲にある」と幅を持たせて推定する方法
95%の意味	100回調査したら95回は真の値を含む区間が得られる
公式	x̄ ± t × (s/√n)
区間を狭くする	サンプルサイズ n を増やす / バラつき s を減らす