こんにちは、シラスです。
これまで、t検定を使って「規格と差があるか？」「AとBに差があるか？」を判定してきました。
しかし、現場の仕事は「差がありました！」と報告して終わりではありません。
上司やクライアントは、必ずこう聞いてくるはずです。
ここで「平均値は52です（点推定）」と言い切ってしまうのはリスクがあります。
なぜなら、手元のデータはあくまで「たまたま取れたサンプル」に過ぎないからです。
今日は、t検定の式を逆算して、「真の平均値（母平均）が含まれる範囲」を予測する、区間推定の手順を解説します。
目次
1. 計算式の正体：検定の「逆算」
いきなり公式を覚える必要はありません。
実は、この式は「t検定の公式」を変形させただけなんです。
1. t検定の式（スタート）
2. $\mu$（母平均）について解く（ゴール）
この式を見ると、区間推定の構造がよく分かります。
- 中心： 手元のデータ平均（$\bar{x}$）
- 幅（誤差）： t値 $\times$ 標準誤差（$s/\sqrt{n}$）
つまり、「手元の平均値を中心に、t値の分だけプラスマイナスに幅を取ったもの」が信頼区間なのです。
2. 実践：真の強度はどれくらい？
具体的な数字で計算してみましょう。
新しい材料の強度試験を行いました。
- データ数： $n = 9$
- 標本平均： $\bar{x} = 100$ MPa
- 不偏標準偏差： $s = 3$ MPa
「この材料の真の強度（母平均）は、95%の確率でどの範囲にあるか？」
ステップ1：標準誤差を出す
データのブレ幅（標準誤差）を計算します。
ステップ2：t値を探す
t分布表から、係数となる「t値」を探します。
- 自由度： $9 - 1 = 8$
- 確率： 両側 5%（0.05）
表を見ると、2.306 です。
ステップ3：幅（マージン）を計算する
t値と標準誤差を掛け合わせます。
ステップ4：足し引きして完成
平均値（100）から、幅をプラスマイナスします。
- 下限： $100 - 2.306 = 97.694$
- 上限： $100 + 2.306 = 102.306$
答え： $97.7 \le \mu \le 102.3$ (MPa)
「手元の平均は100だったけど、真の実力は 97.7 〜 102.3 のどこかにあるよ（95%の信頼度で）」という結論が出ました。
3. 精度を上げる（幅を狭くする）には？
さて、ここからがエンジニアの腕の見せ所です。
もし上司にこう言われたらどうしますか？
「97.7〜102.3？ 幅が広すぎる！ もっとピンポイントに予測しろ！」
信頼区間の幅を狭くする（精度を上げる）方法は2つしかありません。
- 妥協する： 信頼度を95%から90%に下げる（t値を小さくする）。
→ 外れるリスクが増えるので推奨されません。 - データを増やす： サンプル数 $n$ を増やす。
→ こちらが王道です。
データ数 $n$ の威力
もし、サンプル数を $n=9$ から $n=100$ に増やしたらどうなるでしょうか？
| 項目 | n = 9 の時 | n = 100 の時 |
|---|---|---|
| 標準誤差 ($3/\sqrt{n}$) | 1.0 | 0.3 |
| t値 (分布表) | 2.306 | 1.984 |
| 区間の幅 | ± 2.3 | ± 0.6 |
ご覧の通り、データ数を増やすと、分母（$\sqrt{n}$）が大きくなるため、誤差が劇的に小さくなります。
結果、信頼区間は 99.4 〜 100.6 となり、かなりピンポイントな予測ができるようになります。
まとめ
「精度を上げたければ、データを増やせばいい」
これは直感的に分かります。
では、「具体的にあと何個増やせばいいの？」
「実験をする前に、最低何個サンプルが必要か分かる？」
次回は、実験計画の最初にして最大の難関、「必要サンプル数（検出力）」の決め方について解説します。