- 「分散分析表って何？どうやって作るの？」
- 「自由度の決め方がわからない…」
- 「平均平方とF値って何を計算しているの？」
- 分散分析表の役割と構造
- 自由度の決め方（なぜその数になるのか）
- 平均平方の計算方法
- F値の意味と計算
- 具体例で表を完成させる全手順
前回の記事で、平方和（ST, SR, Se）の計算方法を学びました。
今回は、その平方和を使って「分散分析表」を完成させます。
分散分析表を作れば、「この重回帰式は本当に使えるのか？」を統計的に判断できるようになります。
【計算例あり】重回帰の平方和の分解｜SR, Se, ST の意味と求め方 →
目次
📊 分散分析表とは？
分散分析表（ANOVA表）は、「バラつきを要因ごとに整理した表」です。
「回帰によるバラつき」と「残差（誤差）によるバラつき」を比較して、
回帰モデルが統計的に意味があるかどうかを判定する
📋 分散分析表の構造
重回帰分析の分散分析表は、以下のような形をしています。
| 要因 | 平方和 S | 自由度 φ | 平均平方 V | F値 F₀ |
|---|---|---|---|---|
| 回帰 R | SR | φR | VR | F₀ |
| 残差 e | Se | φe | Ve | − |
| 計 T | ST | φT | − | − |
🔤 各列の意味
| 列 | 記号 | 意味 |
|---|---|---|
| 平方和 | S | バラつきの大きさ（前回計算済み） |
| 自由度 | φ（ファイ） | 自由に動けるデータの数 |
| 平均平方 | V | 1自由度あたりのバラつき（= S ÷ φ） |
| F値 | F₀ | 回帰と残差のバラつきの比（= VR ÷ Ve） |
S（平方和）→ φ（自由度）→ V（平均平方）→ F₀（F値）
左から右へ順番に埋めていけば、表が完成します。
分散分析表の作り方｜表を完成させる手順 →
🎯 自由度の決め方
分散分析表で最も「なぜ？」と思うのが自由度ではないでしょうか。
でも、ルールを覚えれば簡単です。
📐 重回帰分析の自由度公式
φT（総） n − 1 | = | φR（回帰） k | + | φe（残差） n − k − 1 |
n = データ数、k = 説明変数の数
🤔 なぜこの数になるの？
🟢 総自由度 φT = n − 1
データがn個あっても、平均を固定すると自由に動けるのは n−1 個です。
5人の合計点が100点と決まっていたら、4人の点数が決まれば最後の1人は自動的に決まりますよね。自由に決められるのは4人分（n−1）です。
🔵 回帰自由度 φR = k
回帰式で推定するパラメータ（偏回帰係数）の数です。説明変数がk個なら、β₁, β₂, ..., βk の k 個を推定します。
説明変数が2つ（x₁, x₂）なら、φR = 2 です。
🟠 残差自由度 φe = n − k − 1
「総自由度」から「回帰自由度」と「切片の分（1）」を引いた残りです。
φe = φT − φR = (n − 1) − k = n − k − 1
データがn個、推定するパラメータがk+1個（切片β₀ + 偏回帰係数k個）なので、残りは n − k − 1 個です。
【完全図解】自由度とは？｜「なぜn-1で割るのか」を中学生でも分かるように解説 →
✅ 自由度の検算
自由度も平方和と同じく、足し算が成り立ちます。
(n − 1) = k + (n − k − 1) ✓
計算が合わなければ、どこかでミスしています。必ず検算しましょう。
📐 平均平方の計算
平均平方（V）は、「1自由度あたりのバラつき」です。
平均平方 = 平方和 ÷ 自由度
🤔 なぜ平均平方を計算するの？
平方和（S）だけでは、データ数や説明変数の数が違うと比較できないからです。
【例え：クラスの合計点】
| Aクラス（30人）の合計点 = 2400点 |
| Bクラス（20人）の合計点 = 1800点 |
どっちが優秀？ → 人数で割って平均を出さないとわからない！
平均平方も同じです。自由度で割ることで、公平に比較できるようになります。
🔥 F値の計算と意味
F値は、「回帰のバラつき」と「残差のバラつき」を比較した比です。
🎯 F値の解釈
| F₀の値 | 意味 | 判定 |
|---|---|---|
| 大きい 📈 | 回帰による説明 ＞ 残差（誤差） | 回帰モデルは有効 😊 |
| 1に近い | 回帰による説明 ≒ 残差（誤差） | 微妙… 🤔 |
| 小さい 📉 | 回帰による説明 ＜ 残差（誤差） | 回帰モデルは無効 😢 |
F値は「シグナル（回帰）とノイズ（残差）の比」です。
シグナルがノイズより十分大きければ（F値が大きければ）、回帰モデルは「意味がある」と判断できます。
F検定で有意差を判定する｜F分布表の使い方 →
F分布のイメージ｜なぜ分散は「引き算」ではなく「割り算」で比べるのか？ →
📊 具体例で分散分析表を完成させよう
前回の記事で計算した平方和を使って、分散分析表を完成させましょう。
📋 前回までの結果
- データ数：n = 5
- 説明変数の数：k = 2（温度 x₁、圧力 x₂）
- 総平方和：ST = 49.20
- 回帰平方和：SR = 48.93
- 残差平方和：Se = 0.27
🔢 Step 1：自由度を計算
| 自由度 | 公式 | 計算 | 結果 |
|---|---|---|---|
| φR（回帰） | k | 2 | 2 |
| φe（残差） | n − k − 1 | 5 − 2 − 1 | 2 |
| φT（総） | n − 1 | 5 − 1 | 4 |
検算：φR + φe = 2 + 2 = 4 = φT ✓
🔢 Step 2：平均平方を計算
| 平均平方 | 公式 | 計算 | 結果 |
|---|---|---|---|
| VR（回帰） | SR ÷ φR | 48.93 ÷ 2 | 24.47 |
| Ve（残差） | Se ÷ φe | 0.27 ÷ 2 | 0.135 |
🔢 Step 3：F値を計算
🎉 完成！分散分析表
| 要因 | 平方和 S | 自由度 φ | 平均平方 V | F値 F₀ |
|---|---|---|---|---|
| 回帰 R | 48.93 | 2 | 24.47 | 181.3 |
| 残差 e | 0.27 | 2 | 0.135 | − |
| 計 T | 49.20 | 4 | − | − |
F₀ = 181.3 は非常に大きな値です。これは「回帰によるバラつき」が「残差（誤差）によるバラつき」の181倍以上あることを意味します。
つまり、この重回帰モデルは非常によく当てはまっていると言えそうです。
ただし、「F₀が大きい」だけでは統計的に有意とは言えません。次の記事で、F表と比較して正式に判定する方法を学びます。
【計算例あり】重回帰モデルの有意性検定｜F₀とF表を比較して判定 →
📋 まとめ
この記事では、重回帰分析の分散分析表の作り方を解説しました。
- 分散分析表は「バラつきを要因ごとに整理した表」
- 自由度：φR = k、φe = n−k−1、φT = n−1
- 平均平方：V = S ÷ φ（1自由度あたりのバラつき）
- F値：F₀ = VR ÷ Ve（シグナル÷ノイズ）
- F値が大きいほど、回帰モデルは有効
【計算の流れ】
平方和 S → 自由度 φ → 平均平方 V → F値 F₀
分散分析表が完成したら、次はF表と比較して「統計的に有意かどうか」を正式に判定します。
📚 次に読むべき記事
F検定で「このモデルは統計的に有意か？」を判定する
各偏回帰係数が統計的に有意かを個別に検定する
偏回帰係数の信頼区間を計算する
【計算例あり】重回帰の平方和の分解｜SR, Se, ST の意味と求め方 →
分散分析表の作り方完全ガイド｜S→V→Fの流れを総復習 →
決定係数(R²)の正体｜「あてはまりの良さ」を視覚的に理解する →
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