残差平方和とは？単回帰の分散分析表の作り方とExcelでの求め方

「回帰分析で分散分析表が出てきたけど、何を計算しているの？」
「SR、Se、STって何の略？どうやって求めるの？」
「F検定で"有意"って判定されたけど、何が言えるの？」

結論ファースト

回帰分析の分散分析表は、yのバラつき（ST）を「回帰で説明できる部分（SR）」と「説明できない残差（Se）」に分解します。F検定で「SR/Se」の比が大きければ、回帰式は有意（xはyに影響する）と判定できます。

この記事でわかること

• 3つの平方和（ST, SR, Se）の意味と計算方法
• 分散分析表の構造と作り方
• F検定で回帰式の有意性を判定する方法
• 計算例で手を動かして完全理解

前提知識：単回帰分析の基礎を理解している方向けです。まだの方は以下もどうぞ。
→ 回帰分析とは？「未来を予測する」仕組み
→ 最小二乗法とは？回帰直線を引く仕組み

S_T = S_R + S_e

全体のバラつき ＝ 回帰で説明できる部分 ＋ 説明できない残差

イメージで理解：テストの点数

生徒の数学の点数（y）を、勉強時間（x）で予測する場面を想像してください。

S_T：生徒ごとの点数のバラつき（全体の散らばり）
S_R：「勉強時間」で説明できる点数の差
S_e：勉強時間では説明できない個人差（才能、体調など）

SR が大きいほど「勉強時間が点数に影響している」と言えます。

R² = ^S_R/_ST = 1 − ^S_e/_ST

R² = 「全体のバラつきのうち、回帰で説明できる割合」

φ_T = φ_R + φ_e

(n − 1) = 1 + (n − 2)

各列の意味：

• 平方和 S：バラつきの大きさ（二乗和）
• 自由度 φ：自由に動ける値の数
• 平均平方 V：平方和 ÷ 自由度（分散の推定値）
• F値：V_R/V_e（回帰の効果 ÷ 誤差の比）

F検定の判定基準

帰無仮説 H₀：傾きβ = 0（xはyに影響しない）
対立仮説 H₁：傾きβ ≠ 0（xはyに影響する）

F₀ > F(1, n−2; α) ならば H₀を棄却（回帰式は有意）

データ（n = 5）

Step 1：基本統計量の計算

Step 2：回帰係数の計算

Step 3：予測値ŷの計算

Step 4：3つの平方和を計算

Step 5：分散分析表の完成

有意水準α = 0.05で検定します。

F分布表より：F(1, 3; 0.05) = 10.13

計算したF値：F₀ = 8.00

判定結果

F₀ = 8.00 ＜ F(1, 3; 0.05) = 10.13

→ 帰無仮説を棄却できない（有意水準5%で有意とは言えない）

結果の解釈

この例では、「xがyに影響する」とは言えないという結果になりました。

ただし、これは「影響がない」ことを証明したわけではありません。サンプルサイズがn=5と小さいため、効果を検出するパワーが不足している可能性があります。

参考：R² = S_R/S_T = 6.4/8.8 ≒ 0.73（回帰で約73%を説明）

射撃で的の中心から弾がずれる原因は、2つあります。

S_e ＝ S_LOF ＋ S_PE

繰り返しのデータが必要な理由
x＝2 のときの y が1つしかなければ、そのズレが「腕のブレ」なのか「照準のズレ」なのか区別できません。同じ x＝2 で y を3回測れば、その3つのバラつきが純粋誤差の大きさを教えてくれます。繰り返しのないデータでは、この検定はできません。

自由度の検算：1 ＋ (k − 2) ＋ (n − k) ＝ n − 1（全体と一致）。LOF の k − 2 は「水準の数 − 回帰で決めた a と b の2つ」、PE の n − k は「各水準の (繰り返し数 − 1) の合計」です。

2つの平方和の求め方

純粋誤差：S_PE ＝ ΣΣ(y_ij − ȳ_i)²　…　水準ごとに「その水準の平均からのズレ」を2乗して全部足す（一元配置の群内平方和と同じ計算）

当てはまりの悪さ：S_LOF ＝ S_e − S_PE ＝ Σ n_i(ȳ_i − ŷ_i)²　…　水準ごとの「実測の平均」と「直線の予測値」のズレ

直線が正しければ、各水準の平均は直線の上にほぼ乗るので S_LOF は小さくなります。曲がった関係を直線で近似していると、ここが大きくなります。

Lack of Fit の検定の判定基準

帰無仮説 H₀：直線モデルでよい（当てはまりの悪さはない）
対立仮説 H₁：直線モデルでは足りない

F₀ ＝ V_LOF / V_PE ≧ F(k−2, n−k; α) ならば H₀を棄却（直線では足りない）

Step 1：回帰直線

Step 2：全体・回帰・残差の平方和

Step 3：純粋誤差と当てはまりの悪さ

Step 4：分散分析表

判定結果

F₀ ＝ 3.45 ／ 1.00 ＝ 3.45 ＜ F(2, 8; 0.05) ＝ 4.46

→ 帰無仮説を棄却できない（直線モデルで足りないとは言えない）

照準のズレ（V_LOF ＝ 3.45）は、腕のブレ（V_PE ＝ 1.00）の約3.5倍ありますが、F分布で見ると偶然の範囲です。この例では ŷ ＝ −0.5 ＋ 3.7x を使ってよいと判断します。ただし「直線が完璧」と証明したのではなく、「このデータでは直線の不足を見つけられなかった」という意味です。

Lack of Fit が有意だったとき：直線では形が合っていません。次のどれかを試します。

• 2次の項を足す（ŷ ＝ a ＋ bx ＋ cx²）。いちばんよく使う方法
• x や y を対数・平方根などに変換して、直線になる目盛りで回帰する
• x の範囲を分けて、それぞれに直線を当てる

繰り返しの回数がそろっていなくてもよい？：できます。純粋誤差の自由度は Σ(n_i − 1) ＝ n − k のままです。繰り返しが1回の水準は純粋誤差に入らないので、できれば各水準2回以上にします。

R² が高いのに有意になることは？：あります。R² は「どれだけ説明できたか」、Lack of Fit は「形が正しいか」を見ています。R² が0.95でも、残差に弓なりの形が残っていれば有意になりえます。

• 分散分析表はyのバラつきを分解する：S_T = S_R + S_e
• S_T：全体のバラつき、S_R：回帰で説明、S_e：残差
• 自由度：全体(n−1) = 回帰(1) + 残差(n−2)
• F₀ = V_R/V_e で回帰式の有意性を検定
• F₀ > F(1, n−2; α) なら「xはyに影響する」と言える

公式まとめ

S_T = Σ(y_i − ȳ)²

S_R = Σ(ŷ_i − ȳ)² = b × Σ(x_i − x̄)(y_i − ȳ)

S_e = S_T − S_R

F₀ = (S_R/1) / (S_e/(n−2))

試験対策のポイント

QC検定や統計検定では、分散分析表の空欄を埋める問題が頻出です。「S_R = b × Sxy」の簡便公式を使えば計算が速くなります。また、自由度の分解（n−1 = 1 + n−2）を覚えておくと確実に得点できます。

NEXT STEP

次は「残差プロットの見方」を学びましょう。回帰分析の前提条件（等分散性・正規性・独立性）を目視でチェックする方法がわかります。

最後までお読みいただきありがとうございました！
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メーカーで電気設計と品質保証に携わってきた経験をもとに執筆しています。むずかしい専門用語をできるだけ使わず、はじめて学ぶ人がつまずかないように、図とたとえで説明することを大切にしています。