- 新製品を3台テストしたけど、1台も壊れなかった。MTBFはどう報告すればいい？
- 「故障ゼロ」なら「MTBF＝無限大」と言っていいの？
- 指数分布とか二項分布とか、なぜその式を使うのかピンとこない…
- QC検定1級の信頼性工学の問題が全然解けない…
- 確率分布の基本（離散型と連続型の違い）
- 二項分布と指数分布の「なぜ使うのか」
- 故障ゼロからMTBFの下限を求める公式の導出
- 具体的な計算例で完全マスター
「3台テストして、全部無事だった！」
これは嬉しい結果ですよね。でも、上司に「MTBFはいくつ？」と聞かれたら、どう答えますか？
「故障ゼロだから、MTBFは無限大です！」…とは言えませんよね。たまたま運が良かっただけかもしれないからです。
この記事では、故障が1回も起きなかったデータから、「少なくともMTBFはこれ以上ある」と言える下限値を統計的に求める方法を解説します。
故障ゼロでも「MTBFは少なくとも○○以上」と言える。その公式は：
n=台数、T=試験時間、α=有意水準（5%なら0.05）
では、なぜこの式になるのか？を一緒に理解していきましょう。
目次
🗺️ 全体像：この記事で学ぶ「知識のつながり」
まず、これから学ぶ内容の「地図」を頭に入れておきましょう。
この問題を解くには、4つの知識を順番に積み上げる必要があります。
| STEP | 学ぶこと | この問題での役割 |
|---|---|---|
| 1 | 確率分布の基本 | 離散型・連続型の違いを理解 |
| 2 | 二項分布 | 「n台中0台故障」の確率を計算 |
| 3 | 指数分布 | 「1台が故障する確率p」を計算 |
| 4 | 信頼下限の導出 | 2つを組み合わせて公式を導く |
この「知識の積み木」を、下から順番に積み上げていきます。焦らず、一つずつ理解していきましょう。
📊 STEP 1：確率分布って何？｜「バラつき」を整理する道具
🎲 確率分布とは「結果の出やすさを整理した表」
確率分布という言葉、難しく聞こえますよね。でも、本質はシンプルです。
「起こりうる結果」と「その確率」を一覧にしたもの
サイコロを例に考えてみましょう。サイコロを1回振ると、1〜6のどれかの目が出ますよね。
| 出る目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 確率 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
↑ これが「確率分布」です！結果とその確率を整理しただけ。難しくないですよね。
📈 確率分布の2つのタイプ：離散型と連続型
確率分布は大きく2種類に分かれます。今回の問題では、両方を使います。
| タイプ | 特徴 | 例 |
|---|---|---|
| 離散型 | 取りうる値が飛び飛び（整数など） | サイコロの目（1,2,3...） 故障した台数（0,1,2...） |
| 連続型 | 取りうる値が連続（小数も含む） | 故障までの時間（3.5時間、100.7時間...） 身長（165.3cm、172.8cm...） |
・二項分布（離散型）→ n台のうち「何台壊れたか」
・指数分布（連続型）→ 1台が「いつ壊れるか」
🎯 STEP 2：二項分布を理解する｜「成功 or 失敗」の繰り返し
🪙 二項分布とは「コイン投げ」のような状況
二項分布は、次のような状況で使う分布です。
- 結果が「成功」か「失敗」の2択である
- 成功確率 p が毎回同じである
- 各試行が独立している（前の結果が次に影響しない）
- 試行回数 n が決まっている
コイン投げがまさにこの条件を満たしますよね。表が出るか、裏が出るか。毎回確率は50%。前の結果は次に影響しない。
🪙 具体例：コインを3回投げたとき
コインを3回投げて、表が出る回数の確率分布を考えてみましょう。
| 表が出た回数 | パターン | 確率 |
|---|---|---|
| 0回 | 裏裏裏 | 0.5³ = 0.125 |
| 1回 | 表裏裏, 裏表裏, 裏裏表 | 3 × 0.5³ = 0.375 |
| 2回 | 表表裏, 表裏表, 裏表表 | 3 × 0.5³ = 0.375 |
| 3回 | 表表表 | 0.5³ = 0.125 |
注目してほしいのは「0回」の確率 = 0.125です。これは「3回とも裏」が出る確率。
計算式で書くと：(1 − 0.5)³ = 0.5³ = 0.125
🏭 信頼性試験に当てはめると？
コイン投げを、信頼性試験に置き換えてみましょう。
| コイン投げ | 信頼性試験 |
|---|---|
| 投げる回数 n | 試験する製品の台数 n |
| 表が出る確率 p | 1台が故障する確率 p |
| 表が0回（全部裏） | 故障0台（全部無事） |
pは1台が故障する確率、nは試験台数
この式が、二項分布から得られる「n台すべてが無事な確率」です。次は、pの値をどう求めるかを見ていきましょう。
⏱️ STEP 3：指数分布を理解する｜「いつ壊れるか」の分布
💡 指数分布とは「待ち時間」の分布
指数分布は、「次に何かが起きるまでの時間」をモデル化する分布です。
身近な例で言うと：
- 電球が切れるまでの時間
- 機械が故障するまでの時間
- コンビニに次のお客さんが来るまでの時間
共通点は、「いつ起きるかランダムだけど、平均的な間隔は分かっている」という状況です。
🔢 指数分布で覚えるべき式（3つだけ！）
指数分布で覚えるべき式は3つだけです。
| 名前 | 式 | 意味 |
|---|---|---|
| 故障率とMTBF | λ = 1/μ | λ：故障率、μ：MTBF（平均故障間隔） |
| 故障する確率 | p = 1 − e−T/μ | 時刻Tまでに故障する確率 |
| 生存する確率 | R(T) = e−T/μ | 時刻Tまで故障しない確率 |
今回使うのは、2番目の「故障する確率」の式です。
T：試験時間、μ：MTBF（平均故障間隔）
🤔 なぜこの式になるのか？｜イメージで理解
「なぜ e のマイナス乗なの？」と疑問に思いますよね。直感的に説明します。
時刻0：生存率 100%（みんな元気）
時刻1：生存率 90%（10%が脱落）
時刻2：生存率 81%（残りの10%が脱落）
時刻3：生存率 72.9%（残りの10%が脱落）
「残りのうち一定割合が減っていく」
→ これを数式で表すと e−λt になる！
e−T/μ は、「毎瞬間、一定の確率で壊れるリスクがあるとき、時刻Tまで生き残る確率」を表しています。
📝 具体例で計算してみよう
電球のMTBFが1000時間だとします。500時間後までに切れる確率は？
| ステップ | 計算 |
|---|---|
| 条件 | μ = 1000時間、T = 500時間 |
| 式に代入 | p = 1 − e−500/1000 = 1 − e−0.5 |
| 計算 | p = 1 − 0.607 = 0.393 |
| 答え | 500時間後までに切れる確率は約39% |
MTBFが1000時間の電球でも、500時間で約4割は切れるということです。意外と早く壊れるんですね。
第15回：指数分布 - 連続的な待ち時間分布 →
🔗 STEP 4：2つの分布を組み合わせる｜信頼下限を導出する
🧩 指数分布と二項分布の役割分担
ここまで学んだ2つの分布を、今回の問題にどう使うか整理しましょう。
| 分布 | 役割 | 式 |
|---|---|---|
| 指数分布 | 1台が故障する確率 p を計算 | p = 1 − e−T/μ |
| 二項分布 | n台すべて無事な確率を計算 | P(X=0) = (1−p)n |
ここで重要なのは、1−p = e−T/μ（故障しない確率）です。これを二項分布の式に代入すると：
🎯 信頼下限の考え方｜ここが一番難しい！
「信頼下限」とは、「95%の確信を持って、MTBFは少なくともこれ以上ある」と言える値です。
考え方のポイントを、宝くじのたとえで説明します。
状況：宝くじを3枚買って、3枚ともハズレだった。
考え方：
・当選確率が50%なら → 3枚ともハズレは珍しい（確率12.5%）
・当選確率が10%なら → 3枚ともハズレは普通（確率72.9%）
・当選確率が1%なら → 3枚ともハズレは当然（確率97.0%）
「3枚ともハズレ」という結果から、当選確率の上限を推定できる！
信頼性試験でも同じ考え方をします。
状況：3台テストして、3台とも故障なしだった。
考え方：
・もしMTBFが小さいなら → 故障確率pが高い → 3台無事は珍しい
・もしMTBFが大きいなら → 故障確率pが低い → 3台無事は普通
「3台とも無事なのが、確率α（5%）以下になる」ギリギリのMTBFが信頼下限！
数式で表すと：
「n台すべて無事な確率がα以下になる」ところがMTBFの下限
🧮 式を解く（対数を使う）
e の指数が入った式を解くには、自然対数（ln）を使います。
| ステップ | 計算 |
|---|---|
| 1 | (e−T/μ)n < α → e−nT/μ < α |
| 2 | 両辺の自然対数をとる：−nT/μ < ln α |
| 3 | ln α は負の数なので、割ると不等号が逆転 |
| 結果 | μ > −nT / ln α |
α = 0.05 のとき、ln 0.05 ≈ −2.996
負の数で割ると、不等号の向きが逆転します。これを忘れると答えが間違います！
🔢 具体的な数値で計算してみよう
では、実際の問題を解いてみましょう。
・試験台数 n = 3台
・試験時間 T = 50,000枚
・結果：故障0台
・信頼率 95%（α = 0.05）
・ln 0.05 = −2.996
| ステップ | 計算 |
|---|---|
| 公式 | μ > −nT / ln α |
| 数値代入 | μ > −(3 × 50,000) / (−2.996) |
| 計算 | μ > 150,000 / 2.996 = 50,067枚 |
| 答え | MTBFの信頼下限 ≈ 5万枚 |
「95%の確信を持って、MTBFは少なくとも5万枚以上ある」と言える！
📝 まとめ｜この記事で学んだこと
この記事では、故障ゼロのテスト結果からMTBFの信頼下限を推定する方法を学びました。
STEP 1：確率分布 → 離散型と連続型の2種類がある
STEP 2：二項分布 → n台すべて無事な確率 = (1−p)n
STEP 3：指数分布 → 1台が故障する確率 p = 1 − e−T/μ
STEP 4：信頼下限 → (1−p)n < α を解いて μ > −nT / ln α
n=台数、T=試験時間、α=有意水準（5%なら0.05）
故障ゼロのテスト結果を報告するとき、「MTBFは無限大」ではなく「少なくとも○○以上」と言えるようになります。
これは品質保証や信頼性試験のレポートで非常に重要な考え方です。QC検定1級でも頻出のテーマなので、しっかり押さえておきましょう。
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