【電験三種】コンデンサの静電容量を完全理解｜C=εS/dの公式導出から誘電体挿入問題まで徹底解説

⚡ こんな悩みを解決します

• ✅ C=εS/dの公式、なぜこの形なのか理解したい
• ✅ 直列・並列接続の合成容量の計算方法がわからない
• ✅ 誘電体挿入問題が出ると手が止まってしまう
• ✅ ε（イプシロン）、ε₀、εᵣの違いがあいまい

📖 この記事を読むとわかること

• 静電容量C=εS/dの公式の導出過程と物理的意味
• 誘電率ε、面積S、距離dがそれぞれ何を表すのか
• 直列・並列接続の合成容量の計算方法（覚え方付き）
• 過去問頻出！誘電体挿入問題の解き方
• 試験本番で使える計算テクニック

💡 身近な例
スマートフォンのフラッシュ、カメラのストロボ、電源回路など、あらゆる電子機器に使われています。瞬間的に大きな電流を流す必要がある場面で活躍します。

定義式：
C = Q / V

C：静電容量 [F]
Q：蓄えられる電荷 [C（クーロン）]
V：加えた電圧 [V（ボルト）]

ステップ1：平行板間の電界E
一方の板に＋Q、もう一方に−Qの電荷を与えると、板の間に一様な電界Eが生じます。
E = Q / (ε × S)

ステップ2：電圧Vと電界Eの関係
平行板間の電圧Vは、電界Eと距離dの積で表されます。
V = E × d

ステップ3：Eを代入
ステップ1の式を代入します。
V = (Q / (ε × S)) × d = Q × d / (ε × S)

ステップ4：静電容量Cを求める
C = Q / Vの定義式より、
C = Q / V = Q / (Q × d / (ε × S)) = ε × S / d

完成！
C = εS / d

1. ε（イプシロン）：誘電率

意味：電極板の間にある物質（誘電体）の性質を表す値
単位：[F/m]（ファラド毎メートル）

📊 関係：εが大きい → Cが大きくなる（比例）
つまり、誘電率の高い物質を挟むと、より多くの電荷を蓄えられます。

💡 誘電率の表記について

試験では3つの記号が出てきます：

• ε₀（イプシロン・ゼロ）：真空の誘電率 = 8.85 × 10⁻¹² F/m
• εᵣ（イプシロン・アール）：比誘電率（真空を1としたときの比）
• ε：誘電率 = ε₀ × εᵣ

試験でよく使うのはこの関係式です！

2. S：電極板の面積

意味：平行な2枚の電極板の向かい合っている部分の面積
単位：[m²]

📊 関係：Sが大きい → Cが大きくなる（比例）
板の面積が広いほど、たくさんの電荷を蓄えられます。「広い駐車場ほど車がたくさん停められる」イメージです。

3. d：電極板間の距離

意味：2枚の電極板の間隔
単位：[m]

📊 関係：dが大きい → Cが小さくなる（反比例）
板の間隔が広いほど、蓄えられる電荷は少なくなります。唯一の「分母」なので要注意です！

🎯 試験で覚えるべきポイント

C = εS / dの公式で：
• 分子（ε、S）が増える → Cが増える ✅
• 分母（d）が増える → Cが減る ⚠️

誘電体挿入問題では、この関係性が必ず問われます！

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コンデンサの静電容量は「理論」科目の頻出分野です。配点の高い分野を優先的に学習する戦略を確認しましょう。

⚠️ 注意！抵抗の逆
コンデンサの合成容量は、抵抗の合成抵抗と逆の関係になります。混同しやすいので要注意です！

並列接続の合成容量
C = C₁ + C₂ + C₃ + ...

なぜこうなる？
並列接続では、各コンデンサに同じ電圧Vがかかります。蓄えられる電荷は各コンデンサで独立して蓄えられるため、総電荷Q_totalは各コンデンサの電荷の合計になります。

Q_total = Q₁ + Q₂ + Q₃
両辺をVで割ると：C = C₁ + C₂ + C₃

【例題】C₁ = 2μF、C₂ = 3μF、C₃ = 5μFのコンデンサを並列接続したとき、合成容量を求めよ。

【解答】
並列接続なので、単純に足すだけ！
C = C₁ + C₂ + C₃ = 2 + 3 + 5 = 10μF

意味：並列に接続すると、個々のコンデンサより大きな容量になります。

直列接続の合成容量
1/C = 1/C₁ + 1/C₂ + 1/C₃ + ...

⚡ 2個の直列接続の簡易公式
試験で最も頻出なのは2個の直列接続です。この場合、以下の公式が使えます：
C = (C₁ × C₂) / (C₁ + C₂) 覚え方：「積を和で割る」（抵抗の並列と同じ！）

【例題】C₁ = 6μF、C₂ = 3μFのコンデンサを直列接続したとき、合成容量を求めよ。

【解答】
2個の直列なので簡易公式を使います。
C = (C₁ × C₂) / (C₁ + C₂) = (6 × 3) / (6 + 3) = 18 / 9 = 2μF

意味：直列に接続すると、最も小さい容量よりさらに小さくなります。

⚠️ よくあるミス

❌ 並列と直列の公式を逆に覚えている
❌ 直列接続で逆数にするのを忘れる
❌ 2個の直列で「積を和で割る」公式を使い忘れる

試験では「並列＝足す」「直列＝逆数」を最初に確認しましょう！

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コンデンサの計算問題も、繰り返し解くことで確実に身につきます。スマホアプリで隙間時間に復習しましょう！

基本の考え方
C = εS / dの公式で、誘電率εが変化します。

• 挿入前：ε = ε₀（真空の誘電率）
• 挿入後：ε = ε₀ × εᵣ（εᵣは比誘電率）

つまり、静電容量はεᵣ倍になります！

誘電体挿入後の静電容量
C' = εᵣ × C

パターン1：電源につないだまま誘電体を挿入

特徴：電圧Vは一定（電源が維持する）

• 静電容量：C' = εᵣ × C （εᵣ倍に増加）
• 蓄えられる電荷：Q' = C' × V = εᵣ × C × V = εᵣ × Q （εᵣ倍に増加）
• 静電エネルギー：U' = (1/2)C'V² = εᵣ × U （εᵣ倍に増加）

パターン2：電源を切ってから誘電体を挿入

特徴：電荷Qは一定（逃げ場がない）

• 静電容量：C' = εᵣ × C （εᵣ倍に増加）
• 電圧：V' = Q / C' = Q / (εᵣ × C) = V / εᵣ （1/εᵣ倍に減少）
• 静電エネルギー：U' = (1/2)Q²/C' = U / εᵣ （1/εᵣ倍に減少）

パターン3：部分的に誘電体を挿入

特徴：コンデンサが2つに分割される（並列接続）

例：面積Sの半分に誘電体を挿入した場合
• 誘電体がある部分：C₁ = ε₀εᵣ × (S/2) / d
• 真空の部分：C₂ = ε₀ × (S/2) / d
• 合成容量：C' = C₁ + C₂（並列接続）

【例題】静電容量10μFのコンデンサに100Vの電圧をかけて充電した後、電源を切り離してから比誘電率εᵣ=4の誘電体を挿入した。挿入後の電圧V'を求めよ。

【解答】
ステップ1：パターンを見極める
→ 電源を切り離してから挿入 → パターン2（電荷Q一定）

ステップ2：公式を使う
電荷Q一定のとき、V' = V / εᵣ

ステップ3：計算
V' = 100V / 4 = 25V

答え：25V（誘電体を挿入すると電圧は1/4に減少）

🎯 誘電体挿入問題の解き方

手順1：電源つないだまま？ 切り離した？ → パターン判定
手順2：何が一定か確認（電源あり→V一定、電源なし→Q一定）
手順3：該当する公式を選ぶ
手順4：計算して答える

この4ステップを守れば、誘電体問題は怖くありません！

⚡ 5ステップ攻略法

1. 問題文をよく読む：単体か複数か、直列か並列か確認
2. 必要な公式を書き出す：C=εS/d、直列・並列の式など
3. 誘電体の有無を確認：εᵣが関係するか判断
4. 数値を代入：単位に注意（μF、pFなど）
5. 検算：並列なら増える、直列なら減る、で確認

⚠️ よくあるミス

❌ C=εS/dで、dを分子に書いてしまう（dは分母！）
❌ 直列・並列の公式を逆に使う
❌ 誘電体挿入で、電源の有無を確認せず計算
❌ 単位変換ミス（μF、pF、nFの混在）
❌ ε₀とεᵣを混同する

📌 この記事の重要ポイント

• ✅ 静電容量の公式：C = εS / d（ε、Sは分子、dは分母）
• ✅ 並列接続：C = C₁ + C₂（足すだけ！）
• ✅ 直列接続：1/C = 1/C₁ + 1/C₂（逆数を足す）
• ✅ 誘電体挿入：C' = εᵣ × C（比誘電率倍になる）
• ✅ 電源の有無で変化する量が異なる（V一定 or Q一定）

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🚀 次のステップ

この記事を読んだら、すぐに過去問で実践してみましょう！
C=εS/dの公式と、直列・並列の計算を何度も練習することで、
試験本番でもスラスラ解けるようになります。

あなたの合格を心から応援しています！✨

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