こんにちは、シラスです。
前回、実験データ全体のバラつきである「総平方和（$S_T$）」を計算しました。
しかし、この「28」という数字（前回の計算結果）だけを見ても、実験が成功したのか失敗したのかは分かりません。
- 「温度を変えたからデータが良くなったのか？」（効果）
- 「単に測定ミスや偶然でズレただけなのか？」（誤差）
この2つがごちゃ混ぜになっているからです。
今日は、この塊（$S_T$）を、手術用メスのように鋭い計算式を使って、「効果（$S_A$）」と「誤差（$S_e$）」の2つにきれいに解体します。
これができれば、実験の全貌が手に取るように分かるようになります。
目次
1. 分解のイメージ：「テストの点数」
計算に入る前に、「何を分けようとしているのか」をイメージで掴みましょう。
ある塾で、AクラスとBクラスの生徒のテストの点数を比べるとします。
生徒全員の点数のバラつき（$S_T$）は、以下の2つの理由で起きています。
-
① 先生の教え方の違い（$S_A$）
「Aクラスの先生は教え方が上手いから、クラス全体の平均点が高いよね」（＝実験の効果） -
② 生徒個人の実力差（$S_e$）
「同じクラスの中でも、できる子とできない子がいるよね」（＝偶然の誤差）
実験計画法の目的は、全体のバラつきの中から①（先生の実力）だけを抽出することです。
もし①が大きければ、「この先生の教え方には効果がある！」と証明できます。
数式で書くとこうなります。
全体（$S_T$）から、効果（$S_A$）と誤差（$S_e$）に分ける。
とても美しい関係式ですね。
2. 群間平方和（$S_A$）の計算
では、具体的な計算に入りましょう。
まずは主役である「効果（$S_A$）」を計算します。
定義は「各水準の平均値と、全体平均とのズレ」ですが、実務では以下の「一発公式」を使います。
群間平方和（$S_A$）の公式
手順：
1. 各クラスの合計点（$T$）を二乗して、生徒数（$n$）で割る。
2. それらを全部足す。
3. 最後に修正項（$CT$）を引く。
実践計算（前回のデータ）
前回のデータ（プラスチック強度）を使います。
- 修正項 $CT = 216$
- 温度A1（低温）： 3, 4, 5
→ 合計 $T_1 = 12$、個数 $n_1 = 3$ - 温度A2（高温）： 7, 8, 9
→ 合計 $T_2 = 24$、個数 $n_2 = 3$
公式に当てはめます。
$S_A = 24$。
これが「温度を変えたこと（先生の違い）によって生まれたズレのエネルギー」です。
3. 群内平方和（$S_e$）の計算
次に、残りの「誤差（$S_e$）」を計算します。
本来なら「各データと、そのグループ平均とのズレ」を計算するのですが、そんな面倒なことはしません。
なぜなら、私たちはすでに「全体（$S_T$）」と「効果（$S_A$）」を知っているからです。
引き算で出す（残差）
「全体から、分かっている効果を引けば、残りは全部ノイズ（個人の実力差）だよね」という考え方です。
これが一番早くて正確です。
実践計算
- 総平方和 $S_T = 28$ （前回計算済み）
- 群間平方和 $S_A = 24$ （さっき計算した）
あっという間に求まりました。
$S_e = 4$。これが「温度とは関係のない、偶然のバラつき」です。
4. 結果の解釈：シグナルとノイズ
計算結果を並べてみましょう。
| 成分 | 平方和 ($S$) | 意味 |
|---|---|---|
| 全体 ($S_T$) | 28 | 総エネルギー |
| 温度 ($S_A$) | 24 | シグナル（デカい！） |
| 誤差 ($S_e$) | 4 | ノイズ（小さい） |
どうでしょうか。
全体の「28」のうち、大部分の「24」は温度によるもので、誤差はたったの「4」しかありません。
この比率を見ただけでも、直感的に「あ、これは温度の影響がめちゃくちゃ強いな（実験成功だな）」と感じませんか？
この直感を、統計的に「合格！」と証明するのが、次のステップである「分散分析（ANOVA）」です。
まとめ
これで、分散分析表を作るための「材料（$S$）」は全て揃いました。
次回、これらを一枚の表にまとめ上げ、ついに「F値（シグナル ÷ ノイズ）」を算出します。
実験計画法のゴールまで、あと一歩です。
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