📚 この記事でわかること
- バートレットの検定が「何のための検定か」がイメージでわかる
- コクラン・ハートレーとの違いがスッキリ理解できる
- 計算式の意味を「オーケストラの音量」で直感的に理解できる
- χ²（カイ二乗）分布を使った判定方法がわかる
前回・前々回で、「コクランの検定」と「ハートレーの検定」を学びましたね。
コクランは「最大のバラつきが全体の何%か」を調べる検定。
ハートレーは「最大と最小の比（何倍か）」を調べる検定でした。
でも、こんな疑問を持った方もいるのではないでしょうか？
🤔 「最大だけ」や「両端だけ」を見るのって、本当に十分なの？
全部のグループを総合的に判定する方法はないの？
その答えが、今回紹介する「バートレットの検定（Bartlett's test）」です。
🎯 結論から言うと
バートレットの検定は、
「3群以上のバラつきが、全体的に揃っているか？」
を総合的に判定する検定です。
いわば、「オーケストラ全体のハーモニー」をチェックする検定です。
目次
バートレットの検定のイメージ｜「オーケストラ」で考える
バートレットの検定を理解するために、「オーケストラの音量バランス」を想像してみましょう。
3つのパートの「音量のバラつき」
オーケストラには、弦楽器・管楽器・打楽器のパートがあります。
それぞれのパート内で、「演奏者ごとの音量のバラつき」を見てみましょう。
3つの検定、それぞれ何を見る？
同じデータでも、コクラン・ハートレー・バートレットは見ているポイントが違います。
🔍 コクランの検定の視点
「打楽器だけ全体の何%を占めてる？」
→ 20 / (10+15+20) = 44%（3群なら33%が理想）
※「1人だけ取りすぎ」を見つける検定
📏 ハートレーの検定の視点
「打楽器は弦楽器の何倍バラついてる？」
→ 20 / 10 = 2倍
※「両端の差」を見る検定
🎼 バートレットの検定の視点
「全パートの音量バランス、全体的に揃ってる？」
→ 全体を総合的に評価して判定
※「オーケストラ全体のハーモニー」を見る検定
比較表で整理しよう
| コクラン | ハートレー | バートレット | |
|---|---|---|---|
| 計算式 | Vmax / ΣVi （最大÷合計） | Vmax / Vmin （最大÷最小） | χ²統計量 （全体を総合評価） |
| 見ているもの | 割合 「全体の何%？」 | 倍率 「何倍違う？」 | 全体のズレ 「揃っている度合い」 |
| イメージ | 🍰 ケーキの取り分 「1人だけ取りすぎ？」 | 📏 身長比べ 「一番と最下位の差は？」 | 🎼 オーケストラ 「全体のハーモニーは？」 |
| 判定に使う分布 | 専用の臨界値表 | 専用の臨界値表 | χ²分布 |
| 正規性への敏感さ | 普通 | 普通 | 非常に敏感 |
💡 バートレットの特徴
バートレットは「最大だけ」「両端だけ」ではなく、全体を見る検定です。
そのため、より精密な判定ができます。
ただし、正規性（データが正規分布に従うこと）に非常に敏感という弱点があります。
バートレットの検定の計算式｜「全体のズレ」を測る
計算式は少し複雑に見えますが、「何をやっているか」のイメージを掴めば怖くありません。
バートレットの統計量 χ²
📐 公式（直感的な形）
χ² = （各群の分散が「プール分散」からどれだけズレているか）
÷ 補正係数
ここで重要なのは「プール分散（pooled variance）」という考え方です。
「プール分散」を直感的に理解する
プール分散とは、「全群の分散を合体させた、代表的なバラつき」のことです。
🏊 「プール」の例え
3つの小さなプール（A・B・C）に、それぞれ異なる温度の水が入っています。
これを1つの大きなプールに合体させると、全体の水温はどうなるでしょう？
プールA
24°C
プールB
26°C
プールC
28°C
合体プール
約26°C
→ この「約26°C」がプール水温（代表値）です。
分散でも同じように、「全群を合体させた代表的なバラつき」を計算します。
バートレットが見ているのは「ズレの合計」
バートレットの検定は、こう考えています。
🎼 オーケストラに戻ると…
「全パートの平均的な音量（プール分散）」を基準にして、
「各パートがその基準からどれだけズレているか」を計算。
そのズレを全部足し合わせて、全体のズレ度合いを測ります。
弦楽器のズレ
小さい
管楽器のズレ
小さい
打楽器のズレ
小さい
全体のズレ
小さい
→ 等分散！
全体のズレが小さい → 各パートの音量がだいたい揃っている → 等分散
全体のズレが大きい → どこかのパートが突出している → 等分散でない
計算の流れ（手順）
実際の計算手順を、ステップごとに見ていきましょう。
各群の分散を計算する
グループごとに「バラつき（分散）」を計算します。
例：V₁ = 10, V₂ = 15, V₃ = 20
プール分散を計算する
各群の分散を「データ数で重み付け」して合体させます。
大きなグループの分散ほど、影響力が大きくなります。
χ²統計量を計算する
「各群の分散」と「プール分散」のズレを、対数を使って計算。
さらに補正係数で調整します（詳細は後述）。
⚠️ 計算は複雑なので…
実務ではExcelでの手計算は大変です。
RやPython、統計ソフト（EZR、SPSS、JMPなど）を使うのが現実的です。
QC検定では「計算式の意味」と「判定方法」が問われることが多いので、
「何を見ているか」のイメージをしっかり掴んでおきましょう！
具体例で計算してみよう
実際のデータを使って、バートレットの検定を体験してみましょう。
ケーススタディ：3台の機械の精度比較
Step 1：プール分散を計算
🧮 計算
プール分散 Sp² = Σ(ni-1)Vi / Σ(ni-1)
= (5×4.0 + 5×6.0 + 5×8.0) / 15
= (20 + 30 + 40) / 15
= 6.0
→ 3台の機械を「合体」させた代表的なバラつきは6.0
Step 2：χ²統計量を計算
🧮 計算（簡略版）
詳細な公式は複雑ですが、「やっていること」は以下の通りです。
① 「全体の自由度 × ln(プール分散)」を計算
② 「各群の自由度 × ln(各群の分散)」の合計を計算
③ ①から②を引く
④ 補正係数で割る
このデータの場合、計算すると…
χ² ≈ 1.37
Step 3：判定｜χ²分布の臨界値と比較
χ² > 臨界値
等分散でない
（帰無仮説を棄却）
→ 対策が必要！
χ² = 1.37 ≤ 臨界値 5.991
✅ 判定結果：等分散とみなせる
→ 分散分析（ANOVA）に進んでOK！
📝 解釈
「3台の機械のバラつき（4.0, 6.0, 8.0）は多少違うけれど、
統計的には『誤差の範囲内』と判断できます。
オーケストラで言えば、全パートの音量は揃っていると言えます」
バートレットの検定の注意点｜「正規性」に要注意！
バートレットの検定には、重要な弱点があります。
正規性に非常に敏感
⚠️ バートレット最大の弱点
バートレットの検定は、「データが正規分布に従っている」ことを前提にしています。
もしデータが正規分布でない場合、
「等分散なのに『等分散でない』と誤判定してしまう」
という問題が起こりやすくなります。
統計学の用語で言うと、「第1種の過誤（あわてんぼうのミス）」が起こりやすい検定です。
正規性が怪しい時はどうする？
データが正規分布に従っているか怪しい場合は、「ルビーン検定（Levene's test）」を使いましょう。
| バートレット検定 | ルビーン検定 | |
|---|---|---|
| 正規性への敏感さ | 非常に敏感 （正規分布が前提） | 頑健（ロバスト） （非正規でもOK） |
| 精度 | 高い （正規なら最強） | 普通 （汎用性重視） |
| おすすめの場面 | 正規性が確認済み QC検定の問題 | 実務での汎用的な使用 正規性が不明な場合 |
💡 実務でのアドバイス
「正規性が明らかに成り立つ」場合 → バートレット検定（精度が高い）
「正規性がよくわからない」場合 → ルビーン検定（安全策）
QC検定ではバートレット検定が出題されることが多いので、
計算方法と判定方法をしっかり覚えておきましょう！
3つの検定、どう使い分ける？
最後に、コクラン・ハートレー・バートレットの使い分けを整理しましょう。
| こんな時は… | 使う検定 |
|---|---|
| 「1つだけ突出」していないか調べたい | コクランの検定 |
| 「両端の差（倍率）」を調べたい 計算を簡単に済ませたい | ハートレーの検定 |
| 「全体的に揃っているか」を厳密に調べたい 正規性が確認済み | バートレットの検定 |
| 正規性がよくわからない とりあえず安全策で | ルビーン検定 |
| 2群の比較 | F検定 |
まとめ｜バートレットは「全体のハーモニー」を見る
📝 この記事のまとめ
① バートレットの検定の目的
3群以上のバラつきが「全体的に揃っているか」を総合判定
→ オーケストラ全体のハーモニーをチェックする検定
② 計算式の意味
「プール分散（全体の代表値）」と「各群の分散」のズレを測定
→ ズレが小さければ等分散、大きければ等分散でない
③ 判定方法
χ² ≤ 臨界値 → 等分散とみなせる（分散分析OK）
χ² > 臨界値 → 等分散でない（対策が必要）
④ コクラン・ハートレーとの違い
コクラン：最大だけに注目（突出を探す）
ハートレー：両端だけに注目（倍率を見る）
バートレット：全体を総合的に評価
⑤ 注意点
正規性に非常に敏感なので、
正規性が怪しい場合はルビーン検定を使う
🎓 覚え方のコツ
バートレット ＝ 「バート」レットは「全パート」を見る
「最大だけ」「両端だけ」ではなく、
全パート（全群）のバランスを総合判定する検定です。
次に学ぶべきこと
コクラン・ハートレー・バートレットで「等分散性OK」と確認できたら、いよいよ分散分析（ANOVA）に進みましょう！
分散分析では、「3群以上の平均に差があるか？」を判定します。
📚 関連記事
💪 ここまで読んでくださった方へ
「バートレットの検定」、
「全体のハーモニーを見る」というイメージで覚えられましたね！
コクラン・ハートレー・バートレット、
3つの等分散性検定をマスターしました。
分散分析の「前座」として、
しっかり使いこなせるようになりましょう！
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ポチップ