【計算例あり】重回帰の平方和の分解｜SR, Se, ST の意味と求め方を完全図解

前回の記事で、正規方程式を使って偏回帰係数を求める方法を学びました。

でも、係数が求まっただけでは不十分です。次に知りたいのは、

「この重回帰式、本当に役に立っているの？」

ということですよね。

それを判断するために、まず「平方和の分解」を理解する必要があります。

この記事では、「平方和」とは何か、なぜ分解するのか、どうやって計算するのかを、具体例を使って徹底解説します。

🎯 平方和とは？

まず、「平方和」という言葉の意味を押さえましょう。

「平方」は「2乗」、「和」は「合計」という意味ですね。

🧩 3つの平方和の意味

重回帰分析では、3つの平方和を計算します。

🟢 総平方和 ST（Total Sum of Squares）

これは「説明する前の、yのバラつき全体」を表しています。

🔵 回帰平方和 SR（Regression Sum of Squares）

これは「重回帰式のおかげで説明できた部分」を表しています。SRが大きいほど、回帰式が役に立っています。

🟠 残差平方和 Se（Error Sum of Squares）

これは「重回帰式では説明しきれなかった誤差」を表しています。Seが小さいほど、回帰式の当てはまりが良いです。

🍰 「バラつきの分解」をイメージで理解

3つの平方和の関係を、ケーキの分割でイメージしてみましょう。

🎂 ケーキの例え

つまり、yのバラつき全体（ST）を、「回帰で説明できた部分（SR）」と「説明できなかった部分（Se）」に分けるのです。

📊 グラフでイメージする

1つのデータ点について、平方和の分解を視覚的に見てみましょう。

🎯 なぜ平方和を分解するの？

平方和を分解する目的は、「回帰式がどれだけ役に立っているか」を数値で評価するためです。

📊 具体例で計算してみよう

前回の記事で使った「製品の強度」のデータで、実際に平方和を計算してみましょう。

📋 使用するデータ

前回求めた重回帰式：y = 2.4 + 1.53x₁ + 1.33x₂

yの平均は ȳ = (5+7+10+11+14)/5 = 9.4 です。

🟢 Step 1：総平方和 ST を計算

ST = Σ(yᵢ − ȳ)² を計算します。

🟠 Step 2：残差平方和 Se を計算

Se = Σ(yᵢ − ŷᵢ)² を計算します。

🔵 Step 3：回帰平方和 SR を計算

SR は「ST − Se」で求めるのが簡単です。

🎉 結果のまとめと解釈

📊 計算結果

✅ 検算：ST = SR + Se になっているか？

ちゃんと一致しています！計算が正しいことが確認できました。

⚡ 簡便法：統計量から直接計算

実は、正規方程式で使った統計量から直接平方和を計算する公式もあります。

📐 簡便法の公式

この公式を使えば、予測値ŷを計算せずに平方和を求められます。データ数が多いときに便利です。

📋 次のステップ：分散分析表へ

平方和が求まったら、次は分散分析表を作ります。

分散分析表では、以下のことがわかります。

• 重回帰モデル全体が統計的に有意か（F検定）
• 各説明変数がどれだけ貢献しているか

次の記事で、この「?」の部分を埋めていきます！

📋 まとめ

この記事では、重回帰分析の「平方和の分解」を解説しました。

平方和の分解は、「回帰式がどれだけ役に立っているか」を評価する第一歩です。

次は、この平方和を使って分散分析表を完成させ、F検定で回帰モデルの有意性を判定しましょう。