目次
はじめに
これまで学んできた平均値、中央値、最頻値は、データの「中心」を表す代表値でした。しかし、データを理解するには「中心」だけでは不十分です。データがどれくらい「散らばって」いるかを知ることも、同じくらい重要なんです。
例えば、A組とB組の数学テストの平均点がどちらも75点だったとします。でも、A組は全員が70～80点の間に集まっているのに対し、B組は30点台から満点まで大きくばらついているかもしれません。この「ばらつき」の違いは、クラスの特徴や今後の指導方針を考える上で重要な情報です。
今日は、データの散らばり具合を数値で表現する「分散」と「標準偏差」について、その計算方法から実際の活用法まで詳しく学んでいきましょう。
分散と標準偏差の基本概念
なぜ「ばらつき」を測るのか
データのばらつきを知ることで、以下のようなことが分かります：
- 予測の精度：ばらつきが小さいほど予測しやすい
- 品質の安定性：製品のばらつきは品質管理の指標
- リスクの大きさ：投資のリターンのばらつきはリスクを表す
- 個人差の程度：テスト結果のばらつきは学力差を示す
分散とは何か
分散は、各データが平均値からどれくらい離れているかの「平均的な距離の2乗」です。
直感的な理解
- 分散が小さい ＝ データが平均の周りに集まっている
- 分散が大きい ＝ データが平均から広く散らばっている
標準偏差とは何か
標準偏差は、分散の平方根で、元のデータと同じ単位で「ばらつき」を表します。
なぜ平方根を取るのか
- 分散は「距離の2乗」なので単位が元データの2乗になる
- 平方根を取ることで、元のデータと同じ単位に戻す
- より直感的に理解しやすくなる
分散の計算方法
基本的な計算手順
例：5人のテスト結果 データ：70, 75, 80, 85, 90点
ステップ1：平均値を求める
平均 = (70 + 75 + 80 + 85 + 90) ÷ 5 = 80点
ステップ2：各データから平均値を引く（偏差）
70 - 80 = -10
75 - 80 = -5
80 - 80 = 0
85 - 80 = +5
90 - 80 = +10
ステップ3：偏差を2乗する
(-10)² = 100
(-5)² = 25
(0)² = 0
(+5)² = 25
(+10)² = 100
ステップ4：2乗した偏差の平均を求める
分散 = (100 + 25 + 0 + 25 + 100) ÷ 5 = 50
ステップ5：標準偏差を求める
標準偏差 = √50 ≈ 7.07点
分散の公式
母分散の公式
σ² = Σ(xᵢ - μ)² / N
σ²：母分散
xᵢ：各データ
μ：母平均
N：データの総数
標準偏差の公式
σ = √σ²
母分散と標本分散の違い
母集団と標本の復習
「母集団」は調べたい全体、「標本」は実際に調査する一部のデータです。
例
- 母集団：全国の高校3年生の身長
- 標本：ある学校の高校3年生100人の身長
母分散と標本分散
母分散（母集団の分散）
σ² = Σ(xᵢ - μ)² / N
分母がN（全データ数）
標本分散（標本の分散）
s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)
分母が(n-1)（標本数-1）
なぜ標本分散は(n-1)で割るのか
標本分散では分母を(n-1)にすることで、母分散をより正確に推定できます。これを「ベッセルの補正」と呼びます。
理由（簡単な説明）
- 標本平均を使って偏差を計算すると、真の母分散より小さく推定される傾向がある
- (n-1)で割ることで、この偏りを補正する
- 標本サイズが大きくなると、nと(n-1)の差は小さくなる
具体例での比較 前述のテストデータ（70, 75, 80, 85, 90）で：
母分散として計算：σ² = 250 ÷ 5 = 50
標本分散として計算：s² = 250 ÷ 4 = 62.5
標準偏差：
母標準偏差：σ = √50 ≈ 7.07
標本標準偏差：s = √62.5 ≈ 7.91
実際の使い分け
| 状況 | 使用する分散 | 分母 |
|---|---|---|
| 全データを持っている | 母分散 | N |
| 標本から母集団を推定 | 標本分散 | n-1 |
| Excelの関数 | STDEV.S（標本） | n-1 |
| 記述統計として | 母分散 | N |
変動係数による相対比較
変動係数とは
変動係数は、標準偏差を平均値で割った値で、異なる単位やスケールのデータのばらつきを比較できます。
公式
変動係数 = 標準偏差 ÷ 平均値 × 100（%）
CV = σ/μ × 100
なぜ変動係数が必要なのか
問題：異なるスケールの比較
例1：身長のデータ
平均：170cm、標準偏差：5cm
例2：体重のデータ
平均：65kg、標準偏差：8kg
「標準偏差8kg > 5cm だから体重の方がばらついている」と言えるでしょうか？
解決：変動係数で比較
身長の変動係数：5 ÷ 170 × 100 = 2.94%
体重の変動係数：8 ÷ 65 × 100 = 12.31%
→ 体重の方が相対的にばらついている
変動係数の実践的活用
品質管理での活用
工場Aの製品重量：
平均100g、標準偏差2g
変動係数：2%
工場Bの製品重量：
平均500g、標準偏差8g
変動係数：1.6%
→ 工場Bの方が品質が安定
投資リスクの比較
株式A：期待リターン8%、標準偏差4%
変動係数：50%
株式B：期待リターン12%、標準偏差8%
変動係数：67%
→ 株式Aの方がリスク（相対的ばらつき）が低い
分散・標準偏差の実践的な使い方
1. 品質管理
製造業での例
製品の重量管理：
目標：100g
許容範囲：±3g（97g～103g）
実測データの標準偏差：1.5g
→ 99.7%のデータが100±4.5g（95.5g～104.5g）の範囲
→ 一部が許容範囲を超える可能性
2. リスク評価
投資での例
ファンドA：年平均リターン8%、標準偏差5%
ファンドB：年平均リターン8%、標準偏差15%
→ 同じ期待リターンでも、Bの方がリスクが高い
3. 教育評価
テスト結果の分析
クラスA：平均75点、標準偏差8点
クラスB：平均75点、標準偏差15点
→ クラスAは学力が均質、クラスBは個人差が大きい
→ 指導方法を変える必要がある
4. 68-95-99.7ルール
正規分布に従うデータでは：
- 68% のデータが 平均±1標準偏差 の範囲
- 95% のデータが 平均±2標準偏差 の範囲
- 99.7% のデータが 平均±3標準偏差 の範囲
実例：身長データ
男性身長：平均170cm、標準偏差6cm
68%の男性：164cm～176cm
95%の男性：158cm～182cm
99.7%の男性：152cm～188cm
分散・標準偏差の注意点
1. 外れ値の影響
分散・標準偏差は外れ値に非常に敏感です。
例
通常データ：70, 75, 80, 85, 90
標準偏差：7.07
外れ値ありデータ：70, 75, 80, 85, 150
標準偏差：31.62
外れ値1個で標準偏差が4倍以上に！
2. 分布の形の影響
標準偏差は正規分布で最も意味を持ちます。歪んだ分布では：
- 68-95-99.7ルールが当てはまらない
- 四分位範囲などの代替指標を検討
3. 単位の問題
分散は元データの単位の2乗になるため：
- 身長データ(cm) → 分散の単位はcm²
- 直感的理解が困難
- 標準偏差を使う方が実用的
実践：ばらつきの分析
ケーススタディ：2つの販売店の比較
店舗A：1週間の日別売上（万円） 月：50, 火：45, 水：55, 木：48, 金：52, 土：60, 日：40
店舗B：1週間の日別売上（万円）
月：30, 火：35, 水：45, 木：60, 金：70, 土：80, 日：30
分析結果
店舗A：
平均：50万円
標準偏差：6.38万円
変動係数：12.8%
店舗B：
平均：50万円
標準偏差：20.0万円
変動係数：40.0%
結論
- 平均売上は同じだが、店舗Bの方が売上変動が大きい
- 店舗Aの方が安定した経営
- 店舗Bは曜日による売上格差が大きい
まとめ
分散と標準偏差は、データの「ばらつき」を数値化する重要な統計量です。平均値と合わせて使うことで、データの全体像をより正確に把握できます。
今日のポイント
✅ 分散：平均からの距離の2乗の平均
✅ 標準偏差：分散の平方根、元データと同じ単位
✅ 標本分散：分母は(n-1)で母分散を正確に推定
✅ 変動係数：異なるスケールのデータのばらつき比較
✅ 68-95-99.7ルール：正規分布での標準偏差の活用
次回は「データの視覚化」について学びます。ヒストグラムの作成方法から、分布の形の読み取り方まで、データを「見える化」する技術を身につけましょう！
