第16回：正規分布 - 統計の王様

はじめに

「身長を測ったら、なんで平均付近の人が多いんだろう？」「テストの点数って、いつも真ん中あたりに集中するよね」「なんで極端に高い人や低い人は少ないの？」

こんな疑問を感じたことはありませんか？実は、私たちの身の回りには「真ん中に集まって、両端は少ない」というパターンがあふれているんです。

この自然界の不思議なパターンを数学で表現したものが「正規分布」です。身長、体重、テストの点数、測定誤差...ありとあらゆるデータが正規分布に従うため、統計学では「王様」と呼ばれています。

今日は、この正規分布の魅力と実用性を、身近な例と簡単な計算で一緒に学んでいきましょう！

正規分布って何？日常で見つけよう

こんな場面で正規分布が登場します

学校生活で

📏 クラスメイトの身長：平均付近が多い、極端に高い・低い人は少ない
📝 テストの点数：真ん中の点数が多い、満点・0点は稀
⚖️ 体重測定：平均体重付近に集中
🕐 通学時間：だいたい同じくらい、極端に早い・遅いは少ない

日常生活で

🌡️ 毎日の気温：平年並みが多い、異常気象は稀
🚗 車の燃費：カタログ値付近が多い、極端に良い・悪いは少ない
💰 家計の支出：平均的な支出が多い、極端な節約・浪費は稀
📊 血圧の値：正常値付近が多い、極端に高い・低いは少ない

正規分布の特徴を日常語で表現すると

正規分布は「真ん中が一番多くて、端っこほど少ない釣鐘型」の分布です。

特徴1：「平均付近が最も多い」

例：身長170cmが平均の男性グループ
📊 170cm付近の人が最も多い
📊 160cmや180cmの人は少なめ
📊 150cmや190cmの人はかなり少ない

特徴2：「左右対称」

例：テストの平均点が70点
📊 平均より10点高い人（80点）の数
📊 平均より10点低い人（60点）の数
📊 この2つはほぼ同じ！

特徴3：「極端な値は稀」

例：平均身長170cm、標準偏差6cmの場合
📊 99.7%の人が152cm〜188cmの範囲
📊 2m超えや140cm未満は非常に稀

正規分布の基本的な計算

正規分布の基本公式

正規分布の記号

N(μ, σ²)

μ（ミュー）：平均値
σ（シグマ）：標準偏差
σ²：分散

例：N(170, 36) = 平均170cm、分散36（標準偏差6cm）の正規分布

基本の性質

・平均値 = 中央値 = 最頻値（すべて同じ値）
・左右完全対称
・平均から±1標準偏差に約68%のデータ
・平均から±2標準偏差に約95%のデータ
・平均から±3標準偏差に約99.7%のデータ

68-95-99.7ルール：魔法の数字

この数字を覚えれば正規分布がわかる！

正規分布では「68-95-99.7」という魔法の数字があります。これさえ覚えれば、どんな正規分布でも大体の範囲がわかります！

68-95-99.7ルールとは

68%：平均 ± 1標準偏差の範囲
95%：平均 ± 2標準偏差の範囲
99.7%：平均 ± 3標準偏差の範囲

実際に計算してみよう：身長の例

設定

👨 成人男性の身長
平均：170cm
標準偏差：6cm

ステップ1：各範囲を計算

1標準偏差の範囲：170 ± 6 = 164cm〜176cm
2標準偏差の範囲：170 ± 12 = 158cm〜182cm  
3標準偏差の範囲：170 ± 18 = 152cm〜188cm

ステップ2：人数の割合を理解

身長の範囲	含まれる人の割合	感覚的な表現	具体例
164〜176cm	68%	約3人に2人	標準的な身長
158〜182cm	95%	ほとんどの人	普通の範囲
152〜188cm	99.7%	ほぼ全員	極端でない範囲
152cm未満	0.15%	1000人に1.5人	かなり低い
188cm超	0.15%	1000人に1.5人	かなり高い

実際に計算してみよう：テストの点数

設定

📝 数学のテスト結果
平均：70点
標準偏差：10点

ステップ1：各範囲を計算

1標準偏差：70 ± 10 = 60点〜80点
2標準偏差：70 ± 20 = 50点〜90点
3標準偏差：70 ± 30 = 40点〜100点

ステップ2：生徒の分布を理解

点数の範囲	生徒の割合	クラス30人での人数	成績の評価
60〜80点	68%	約20人	標準的
50〜90点	95%	約29人	普通の範囲
40〜100点	99.7%	ほぼ全員	想定内
90点超	2.5%	1人未満	優秀
50点未満	2.5%	1人未満	要注意

標準化とz得点：どんな正規分布も比較できる魔法

z得点って何？

z得点は「平均からどれだけ離れているか」を標準偏差を単位として表した数値です。これを使えば、異なる正規分布同士を比較できます！

z得点の計算式

z = (データの値 - 平均) ÷ 標準偏差

例：身長180cm、平均170cm、標準偏差6cmの場合
z = (180 - 170) ÷ 6 = 10 ÷ 6 = 1.67

実際に計算してみよう：成績比較

設定

👨‍🎓 太郎くんの成績比較
数学：80点（平均70点、標準偏差10点）
英語：75点（平均60点、標準偏差15点）

どちらの科目の方が優秀？

ステップ1：それぞれのz得点を計算

数学のz得点：
z = (80 - 70) ÷ 10 = 1.0

英語のz得点：
z = (75 - 60) ÷ 15 = 1.0

ステップ2：結果を解釈

📊 両方ともz = 1.0
→ どちらも平均より1標準偏差上
→ どちらも同じレベルの優秀さ！

z得点の実用的な解釈表

z得点	平均からの位置	上位からの％	感覚的な表現
-3	平均-3標準偏差	99.85%	最下位レベル
-2	平均-2標準偏差	97.5%	かなり低い
-1	平均-1標準偏差	84%	やや低い
0	平均	50%	真ん中
+1	平均+1標準偏差	16%	やや高い
+2	平均+2標準偏差	2.5%	かなり高い
+3	平均+3標準偏差	0.15%	トップレベル

中心極限定理：なぜ正規分布がこんなに多いの？

中心極限定理をわかりやすく

中心極限定理とは「たくさんの要因が積み重なると、結果は正規分布になりやすい」という法則です。

身近な例で理解

📏 身長が正規分布になる理由：
・遺伝的要因（両親の身長）
・栄養状態（幼少期の食事）
・運動習慣（成長期の活動）
・睡眠時間（成長ホルモン）
・病気の有無（健康状態）
...など多数の要因が組み合わさる結果

テストの点数が正規分布になる理由

📝 数学のテスト結果：
・基礎学力（計算能力）
・理解度（概念の把握）
・勉強時間（準備期間）
・体調（当日のコンディション）
・運の要素（出題傾向との相性）
...など多数の要因が組み合わさる結果

サイコロ実験で体感してみよう

実験：サイコロを複数個振った平均

🎲 1個の場合：1,2,3,4,5,6（均等、正規分布ではない）

🎲🎲 2個の平均：
平均1.0：(1,1)だけ → 1通り
平均2.5：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1) → 4通り  
平均3.5：最も多い → 6通り

🎲🎲🎲🎲 4個の平均：
→ ほぼ正規分布の形になる！

身近な場面での正規分布活用

場面1：学校の成績管理

先生の視点

👩‍🏫 「クラスのテスト結果を分析したい」

平均点：75点、標準偏差：12点の場合：

68%の生徒：63〜87点（普通の成績）
95%の生徒：51〜99点（想定範囲内）
上位2.5%：87点以上（優秀）
下位2.5%：63点以下（要サポート）

実用的な活用

📊 成績評価の基準設定
📊 補習対象者の特定（下位15%など）
📊 進路指導の参考資料
📊 問題の難易度調整

場面2：品質管理の現場

工場の品質管理担当者

👨‍🏭 「製品の重量管理をしたい」

目標重量：100g、標準偏差：2gの場合：

合格範囲：94g〜106g（平均±3標準偏差）
→ 99.7%の製品が合格
→ 0.3%の製品が不良品

管理限界：96g〜104g（平均±2標準偏差）
→ この範囲を外れたら工程調整

場面3：医療現場での判定

健康診断での活用

👩‍⚕️ 「血圧の正常範囲を知りたい」

収縮期血圧の平均：120mmHg、標準偏差：15mmHgの場合：

正常範囲（68%）：105〜135mmHg
注意範囲（95%）：90〜150mmHg
要治療（上位2.5%）：150mmHg超
低血圧（下位2.5%）：90mmHg未満

電卓での実用計算

z得点の計算練習

例題1：偏差値の計算

📝 模試の結果
自分の点数：80点
平均点：65点  
標準偏差：10点

z得点 = (80 - 65) ÷ 10 = 1.5
偏差値 = 50 + 10 × 1.5 = 65

→ 偏差値65！

例題2：身長の相対位置

📏 自分の身長：175cm
平均身長：170cm
標準偏差：6cm

z得点 = (175 - 170) ÷ 6 = 0.83

→ 平均より0.83標準偏差高い
→ 上位約20%の身長

範囲計算の練習

例題：製品の合格率

🏭 製品の重量
平均：500g、標準偏差：20g
合格範囲：460g〜540g

合格範囲をz得点で表すと：
下限：(460 - 500) ÷ 20 = -2
上限：(540 - 500) ÷ 20 = +2

→ 平均±2標準偏差の範囲
→ 95%の製品が合格
→ 5%の製品が不良品

正規分布を使った予測

予測の実例：売上予測

設定

🏪 コンビニの1日の売上
平均：50万円、標準偏差：8万円

予測計算

売上40万円以下の確率：
z = (40 - 50) ÷ 8 = -1.25
→ 約10%の確率

売上60万円以上の確率：
z = (60 - 50) ÷ 8 = 1.25  
→ 約10%の確率

売上34万円以下の確率：
z = (34 - 50) ÷ 8 = -2
→ 約2.5%の確率（かなり珍しい）

まとめ：正規分布は統計の王様

正規分布は「68-95-99.7ルール」と「z得点の計算」さえマスターすれば、日常の様々な場面で活用できます。テストの成績から品質管理まで、データの「普通」と「異常」を判断する強力なツールです。

今日のポイント

🎯 重要な公式

✅ z得点 = (データ - 平均) ÷ 標準偏差
✅ 68%：平均 ± 1標準偏差
✅ 95%：平均 ± 2標準偏差  
✅ 99.7%：平均 ± 3標準偏差

🔍 実用的な活用法

✅ 成績の相対評価（偏差値計算）
✅ 品質管理の基準設定  
✅ 異常値の検出
✅ 予測と計画立案
✅ リスク評価

💡 覚えておくべきz得点

✅ z = ±1 → 上位・下位約15%
✅ z = ±2 → 上位・下位約2.5%
✅ z = ±3 → 上位・下位約0.15%

次回は「t分布」について学びます。正規分布の弟分のような分布で、少ないデータで分析する時の救世主です。正規分布との違いと使い分けを、身近な例で分かりやすく解説します！