【完全図解】有限母集団補正とは？｜サンプルサイズが減る魔法の式をイメージで理解

📚 こんな疑問、ありませんか？

• 「有限母集団補正」ってそもそも何？
• なぜ母集団が小さいとサンプルサイズが減るの？
• 式を見ても、なぜその形になるのかピンとこない…
• QC検定の問題で計算はできるけど、本質がわからない

✅ この記事でわかること

• 有限母集団補正の「直感的な意味」をカゴとボールで理解
• なぜ補正すると小さくなるのかを数式なしで把握
• 式の意味を「残りの割合」で納得
• 実際の計算問題の解き方をステップで習得

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無限母集団とは、「取っても取っても減らない」と考えられるほど大きな集団のことです。

たとえば、海の水をコップ1杯すくっても、海の水はほとんど減りませんよね？

🌊 コップ1杯目も、100杯目も、海の状態はほぼ同じ

有限母集団とは、「取ると明らかに減る」とわかる大きさの集団です。

たとえば、金魚すくいの水槽に50匹の金魚がいるとします。

10匹すくったら、残りは40匹。次にすくうとき、状況が明らかに変わっているんです。

🐟 取れば取るほど、残りが減っていく → これが有限母集団

💡 超重要ポイント

有限母集団では、「取れば取るほど残りが減る」ので、同じ精度を得るのに必要なサンプルサイズが少なくて済むのです。これが補正の本質！

有限母集団補正係数

√(N − n / N − 1)

N：母集団の大きさ　n：サンプルサイズ

50個のプレゼントが入った箱があります（N = 50）。

この中から10個を取り出して中身を確認します（n = 10）。

10個取ったあと、箱には何個残っていますか？

📦 50 − 10 = 40個 残っている！

式の分子「N − n」は、まさにこの「残りの数」を表しています。

上の例なら：50 − 10 = 40

つまり、「まだ調べていない部分がどれだけあるか」ということですね。

分母の「N − 1」は、「最初から1個取った状態で、残りがどれだけか」を表します。

なぜ「N」ではなく「N − 1」なのか？これは統計学で「不偏推定」という考え方に関係しています（標本分散でも「n − 1」で割りますよね）。

💡 ざっくり言うと、「サンプリングを始めた時点で1個分の情報は確定する」という考え方です。

例：N = 50、n = 10 の場合

① 分子を計算：50 − 10 = 40

② 分母を計算：50 − 1 = 49

③ 割り算：40 ÷ 49 = 0.816...

④ 平方根を取る：√0.816 = 約 0.903

→ 補正係数は約 0.9（1より小さい！）

💡 ここがポイント！

補正係数は必ず1以下になります。だから、これを分散に掛けると分散が小さくなり、結果として必要なサンプルサイズも小さくなるのです！

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【ケース1】1000本のくじから10本を引く

あなたは1000本のくじが入った箱から、10本を引きました。

残り990本は、まだ何が入っているかわかりません。

→ 引いた10本の情報だけでは、全体のことはあまりわからない…

【ケース2】50本のくじから10本を引く

今度は50本しかない箱から、同じく10本を引きました。

残り40本。全体の20%を調べたことになります！

→ 同じ10本でも、全体に対する「情報量」が圧倒的に大きい！

無限母集団（海の水）では、コップ100杯すくっても、海のことはほんの少ししかわかりません。

でも有限母集団（金魚鉢）では、10匹調べたら全体の20%がわかります。

→ だから、同じ精度（信頼度）を得るために、より少ないサンプルで済むのです！

N = 50 で、n = 50（全部調べる）の場合、補正係数はどうなるでしょう？

分子：50 − 50 = 0

計算：√(0 / 49) = 0

→ 分散が0になる = 誤差ゼロ = 完全に全部わかった！

📖 もっと詳しく学ぶ

【問題】

無限母集団から単純ランダムサンプリングでn個のサンプルを抽出するとき、

母平均を信頼率95%で幅±eの範囲に推定するためのサンプルサイズはn = 100であった。

大きさN = 300の有限母集団から同じ精度で推定するのに必要なサンプルサイズは？

💡 ポイント：有限母集団では補正を使う！

Step 1：有限母集団のサンプルサイズ n' を求める公式を確認

Step 2：数値を代入

n = 100、N = 300 を代入すると：

n' = (100 × 300) / (100 + 300 − 1)

n' = 30000 / 399

n' = 75.19...

Step 3：切り上げて整数に

サンプルサイズは整数なので、切り上げてn' = 76

✅ 答え

n' = 76

無限母集団で100個必要だったのが、76個で済む！

この公式は、先ほどの補正係数から導かれます。

無限母集団での分散の推定精度を、有限母集団でも同じにするために補正係数を使うと、

数式を変形していくとこの形にまとまるのです。

💡 覚え方：分子は「n × N」の掛け算、分母は「n + N − 1」の足し算

• 無限母集団：取っても減らない → 補正不要
• 有限母集団：取れば減る → 同じ精度なら少ないサンプルでOK
• 補正係数 √((N−n)/(N−1))：「残りの割合」を表す
• 補正係数は必ず1以下なので、分散が小さくなる
• サンプルサイズの公式：n' = (n × N) / (n + N − 1)

⚠️ 試験での注意点

QC検定では「サンプリング比（n/N）が5%以下なら補正不要」というルールがよく出題されます。問題文をよく読んで、補正が必要かどうかを判断しましょう！

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