直交表とは？L4・L8直交表の使い方と割り付け、交互作用の見方を例題で図解

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直交表を含め、実験計画法のどの手法を使えばよいかは次の記事のフローチャートで選べます。

実験計画法を学んでいると、必ず出てくるのが「直交表」という言葉。

「L4」「L8」「L16」…なんだか暗号のようですよね。

でも安心してください。直交表の本質は、とてもシンプルです。

「うまく組み合わせれば、少ない回数で全部の情報が手に入る」

これだけです。

この記事を読み終わる頃には、あなたも「なるほど、だから実験回数が減るのか！」と腹落ちしているはずです。

直交表は「ホテルのバイキング」だ

直交表を理解するために、まず「ホテルのバイキング」をイメージしてください。

普通にやると「8回」食べなきゃいけない

3つの料理カテゴリ、それぞれ2つの選択肢。全部の組み合わせを試すと…

2 × 2 × 2 = 8通り

つまり、8回バイキングに通わないと「最高の組み合わせ」が分かりません。

お腹も財布も大変ですよね。

でも「4回」で済む方法がある

ここで登場するのが「L4直交表」です。

L4直交表を使うと、4回の食事だけで「どの料理が満足度に一番影響するか」が分かります。

なぜそんなことが可能なのか？

それは、L4直交表が「バランスよく組み合わせを選んでくれる」からです。

直交表とは（ひとことで）と、主な種類

直交表（直交配列表）とは、どの2列を取り出しても水準の組み合わせが同じ回数ずつ出てくるように作った、実験の組み合わせの表です。少ない実験回数で、各因子の効果を公平にくらべられます。「直行表」と書かれることもありますが、正しくは「直交表」です。

直交表	実験回数	水準	割り付けられる列の数
L4	4回	2水準	3列
L8	8回	2水準	7列
L12	12回	2水準	11列（交互作用は見ない）
L16	16回	2水準	15列
L9	9回	3水準	4列
L18	18回	2水準と3水準	2水準1列＋3水準7列
L27	27回	3水準	13列

L4直交表とは？「最小の魔法陣」

L4直交表は、「3つの因子を4回の実験で調べる」ための表です。

「L」は「Latin square（ラテン方格）」の頭文字、「4」は「4回の実験」を意味します。

L4直交表（2³型）

実験No.	第1列	第2列	第3列
1	1	1	1
2	1	2	2
3	2	1	2
4	2	2	1

※ 1と2は水準（例：1=ステーキ、2=魚料理）を表します

この表の「魔法」に気づきましたか？

L4直交表をよく見てください。あることに気づきませんか？

バイキングに当てはめてみよう

先ほどのバイキングの例に、L4直交表を当てはめてみましょう。

バイキング実験計画（L4）

食事No.	メイン料理	サイド	ドリンク	満足度
1	ステーキ	サラダ	赤ワイン	85点
2	ステーキ	スープ	白ワイン	78点
3	魚料理	サラダ	白ワイン	72点
4	魚料理	スープ	赤ワイン	80点

たった4回の食事で、こんなことが分かります。

結論：「ステーキ + 赤ワイン」が最高の組み合わせと分かりました。

8回食べなくても、4回で答えが出たのです。これが直交表の威力です。

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L8直交表とは？「7つの因子を8回で調べる」

L4直交表は便利ですが、調べられる因子は最大3つまで。

もっと多くの因子を調べたい場合は、L8直交表を使います。

L8直交表（2⁷型）

No.	列1	列2	列3	列4	列5	列6	列7
1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	1	1	2	2	2	2
3	1	2	2	1	1	2	2
4	1	2	2	2	2	1	1
5	2	1	2	1	2	1	2
6	2	1	2	2	1	2	1
7	2	2	1	1	2	2	1
8	2	2	1	2	1	1	2

L8直交表も、L4と同じ「魔法の性質」を持っています。

各列で「1」と「2」が同じ回数（4回ずつ）出てくる
どの2列を取り出しても、4つの組み合わせが2回ずつ出てくる

この「バランスの良さ」が、少ない実験回数でも正確な結果を出せる秘密です。

割り付けとは？「どの列に何を入れるか」を決める

直交表を使う上で、最も重要な作業が「割り付け」です。

割り付けとは、「直交表の各列に、どの因子を対応させるか」を決めること。

割り付けで絶対に守るべきルール

L8直交表で最も重要なルールは、「交互作用が出る列を避ける」ことです。

これを視覚的に表したのが「線点図」です。

実践例：L8直交表で「製品品質」を最適化する

ここからは、実際の製造現場を想定した例で解説します。

ステップ1：因子を列に割り付ける

4つの因子をL8直交表のどの列に入れるか決めます。

今回は「A×B の交互作用も調べたい」とします。

割り付け表

列番号	1	2	3	4	5	6	7
割り付け	A	B	A×B	C	（空き）	（空き）	D

※ 列3は「A×Bの交互作用」を見るために空けておく

ステップ2：実験を実施する

割り付けに従って、8回の実験を行い、結果（強度）を記録します。

実験結果

No.	A:金型温度	B:射出圧力	C:冷却時間	D:材料ロット	強度(MPa)
1	低い	低い	短い	ロット1	42
2	低い	低い	長い	ロット2	48
3	低い	高い	短い	ロット2	55
4	低い	高い	長い	ロット1	58
5	高い	低い	短い	ロット2	52
6	高い	低い	長い	ロット1	56
7	高い	高い	短い	ロット1	62
8	高い	高い	長い	ロット2	65

ステップ3：各因子の効果を計算する

各因子の「水準1の平均」と「水準2の平均」を計算して、どの因子が効いているか調べます。

L4とL8、どちらを選ぶ？

直交表の選び方は、「調べたい因子の数」で決まります。

直交表	実験回数	調べられる因子数	使う場面
L4	4回	最大3因子	因子が少ない、まず試したい時
L8	8回	最大7因子	因子が多い、交互作用も見たい時
L16	16回	最大15因子	因子がとても多い時

直交表の列に因子を割り付けるときは、交互作用を見るかどうかで使う列が変わります。

ここで「線点図」を見てみよう

さて、ここまでの話を「図」にしたのが線点図です。
もう一度見てみましょう。

この図は、赤と青の絵の具を混ぜると紫になるように、2つの因子をかけ合わせた効果（交互作用）が決まった列に出る、という関係をシンプルに描いたものです。

丸い点（1, 2）： 「ここに要因（赤・青）を入れてね」という場所。
結んでいる線： 「この2つはペアだよ（混ざるよ）」という印。
線の上の数字（3）： 「混ざった色（紫）は、ここに出るよ」という場所。

つまり、線点図とは「どこに何を入れたら、どこに何色が出るか」を教えてくれる予言の書なのです。

L12直交表の「スペック」

まず、L12直交表の実力を見てみましょう。
比較対象として、メジャーな「L16直交表」と並べてみます。

種類	実験回数	扱える因子の数	交互作用
L16直交表	16回	最大 15個	特定の列に出る（見れる）
L12直交表	12回	最大 11個	全列に分散する（見れない）

L16よりも少ない実験回数（12回）で、ほぼ同じ数（11個）の因子を調べることができます。
非常にコスパが良いですね。

しかし、右端の項目に注目してください。
「交互作用が見れない」と書いてあります。

なぜそれが「最強」なのか？

「交互作用が見れないなんて、欠陥品じゃないか？」
そう思うかもしれません。しかし、以下のシチュエーションでは、これこそが最強の武器になります。

開発の初期段階では、「温度、圧力、材料、時間、速度…」など、怪しい因子が山ほどあります。
この段階で知りたいのは、細かい相性（交互作用）ではありません。

L12を使えば、交互作用のことを一切気にせず、空いている列に片っ端から因子を詰め込むことができます。
（L8やL16だと、交互作用が出る列を避けながら割り付けるので、空き部屋が無駄になります）

L16： 交互作用を避けると、実質5〜6個しか因子を入れられない。
L12： 交互作用を無視して、最大11個までギチギチに詰め込める。

この「収容力の高さ」こそが、L12がスクリーニング（効く因子のふるい分け）の実験でよく使われる理由です。

まとめ：直交表は「魔法の時間割」

直交表は、一見すると「ただの数字の表」に見えます。

でも実は、先人の数学者たちが考え抜いた「究極のバランス」が詰まった芸術作品なのです。

このバランスのおかげで、私たちは少ない実験回数で、多くの情報を得ることができます。

まずはL4直交表から試してみてください。3つの因子を4回の実験で調べるだけでも、その威力を実感できるはずです。

No.	列1	列2	列3	列4	列5	列6	列7
1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	1	1	2	2	2	2
3	1	2	2	1	1	2	2
4	1	2	2	2	2	1	1
5	2	1	2	1	2	1	2
6	2	1	2	2	1	2	1
7	2	2	1	1	2	2	1
8	2	2	1	2	1	1	2

No.	列1	列2	列3	列4	列5	列6	列7
1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	1	1	2	2	2	2
3	1	2	2	1	1	2	2
4	1	2	2	2	2	1	1
5	2	1	2	1	2	1	2
6	2	1	2	2	1	2	1
7	2	2	1	1	2	2	1
8	2	2	1	2	1	1	2