第9回：分散の加法性｜「独立」なら足せる！バラつきの合成法則を徹底解説

• 「分散の加法性って何？なんで分散は足せるの？」
• 「標準偏差は足せないのに、分散は足せる？意味がわからない…」
• 「『独立』ってどういう意味？」
• 「V(X+Y) = V(X) + V(Y) の公式、どう使えばいいの？」

• 独立な確率変数なら、分散は足し算できる
• V(X + Y) = V(X) + V(Y)　←　これが「分散の加法性」
• 標準偏差は足せない（2乗してから足して、ルートを取る）
• 引き算でもV(X − Y) = V(X) + V(Y)（プラスになる！）

分散の定義を復習してから読むとスムーズです！

サイコロXで「6」が出たからといって、サイコロYの出目は変わりませんよね。
Xの結果とYの結果はお互いに影響しない。
これが「独立」です。

V(X + Y) = V(X) + V(Y) = 2.92 + 2.92 = 5.84

標準偏差を合成するには、2乗→足す→ルートの3ステップ！

σ_X+Y = √(σ_X² + σ_Y²) = √(V(X) + V(Y))

AさんとBさんがそれぞれ的を狙って投げます。
二人の差を考えるとき、バラつきは増えるんです。

なぜなら、Aさんがズレて、Bさんもズレると、
差のバラつきは両方のズレが重なるから！

V(X − Y) = V(X + (−Y)) = V(X) + V(−Y) = V(X) + V(Y)

V(2X) = 2² × V(X) = 4V(X)

独立でない場合は「共分散」が登場します！

Step 1：分散を足す
V(A + B) = V(A) + V(B) = 0.09 + 0.16 = 0.25mm²

Step 2：平方根を取って標準偏差へ
σ_A+B = √0.25 = 0.5mm

間違い：0.3 + 0.4 = 0.7mm（標準偏差を直接足す）
正解：√(0.3² + 0.4²) = √0.25 = 0.5mm

標準偏差を直接足すと、バラつきを過大評価してしまいます！

分散の加法性は、ピタゴラスの定理に似ています。

直角三角形で、斜辺c = √(a² + b²) ですよね。
3² + 4² = 9 + 16 = 25 → √25 = 5

標準偏差の合成も同じ！
σ² + σ² を足して √ を取るイメージです。

• 独立な確率変数なら、分散は足し算できる
• 標準偏差は足せない（2乗→足す→ルートの3ステップ）
• 引き算でもV(X−Y) = V(X) + V(Y)（プラスになる！）
• 定数倍はV(aX) = a²V(X)（2乗で出てくる）
• 製造業の公差計算で必須の知識

• V(X − Y)がプラスになる理由を説明できるように
• 標準偏差の合成方法「2乗→足す→ルート」を暗記
• 「独立」の条件を確認する問題に注意
• 公差計算への応用問題が頻出

• 標準偏差を直接足す（σ_X + σ_Y は間違い！）
• V(X − Y) = V(X) − V(Y) と計算する（マイナスではない！）
• 独立でない変数に加法性を適用する

分散の加法性は「独立ならバラつきは足せる」という法則でしたね。

標準偏差は直接足せないけど、「2乗→足す→ルート」で合成できます。
引き算でもプラスになるのがポイント！

次は「共分散」で、独立でない場合を学びましょう！➕📊