ポアソン分布とは？公式と使える条件、二項分布との違いを例題で図解｜確率の計算ツール付き

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ポアソン分布とは、決まった時間や範囲の中で、まれな出来事が何回起きるかの確率を表す分布です。平均の回数λ（ラムダ）だけで形が決まり、k回起きる確率はP(X＝k)＝λᵏ×e⁻λ÷k!で求めます。平均も分散もλになり、不良の数やキズの数、電話の件数などに使います。

ポアソン分布とは？「まれな出来事の回数」の分布

「1時間に平均3回かかってくる電話が、次の1時間に5回かかる確率は？」のような問いに答えるのがポアソン分布です。

条件がくずれると、実際のばらつきはポアソン分布より大きくなりがちです。たとえば不良がかたまって出る工程では、「ポアソン分布ならまず起きない」はずの多さが、ふつうに起きます。

公式

P(X ＝ k) ＝ λᵏ × e⁻λ ÷ k!

k：起きる回数（0, 1, 2, …）、λ：平均の回数、e≒2.718、k!：kの階乗（3!＝3×2×1＝6）

e⁻λは「1回も起きない確率」です。そこにλᵏ÷k!をかけると、k回起きる確率になります。k!で割るのは、同じk回の起き方の順番のちがいを数えすぎないためです。

λ＝3のとき、ちょうど5件かかる確率は、3⁵＝243、e⁻³≒0.0498、5!＝120 なので、243×0.0498÷120≒0.101（約10.1%）です。

件数 k	0	1	2	3	4	5	6以上
確率	5.0%	14.9%	22.4%	22.4%	16.8%	10.1%	8.4%

平均が3件でも、ちょうど3件の確率は22%ほどしかありません。6件以上の忙しい時間も、約12回に1回はあります。窓口の人数を決めるときは、平均だけでなく、この「多い側の確率」を見ます。

λは「その長さの時間での平均」です。1時間に平均3件なら、30分ではλ＝1.5、2時間ではλ＝6として計算します。

ポアソン分布は、平均も分散もλです。標準偏差は√λになります。

二項分布は「n回のうち何回起きるか」の分布です。nがとても大きく、起きる確率pがとても小さいとき、二項分布はλ＝n×pのポアソン分布で近似できます。

例：1日に1万個つくり、不良率が0.02%のライン。λ＝10,000×0.0002＝2 です。不良が0個の日の確率はe⁻²≒13.5%、5個以上の日は約5.3%です。二項分布のまま1万回分を計算するより、ずっと楽です。

分布	数えるもの	平均・分散
二項分布	n個のうちの不良品の数（上限n）	np・np(1−p)
ポアソン分布	決まった範囲の中のキズ・欠点の数（上限なし）	λ・λ

λが小さいと0の近くに山がある右に長い形ですが、λが大きくなるほど左右対称の山になり、λがおよそ10以上なら、平均λ・標準偏差√λの正規分布で近似できます。

欠点数を管理するc管理図は、ポアソン分布の「標準偏差＝√平均」を使って、管理限界をc̄±3√c̄としています。平均が1日2個なら上方管理限界は2＋3√2≒6.24で、7個以上の日は「いつもとちがう」と判断します。

平均の回数λと、知りたい回数kを入れてください。

平均 λ 回数 k

入力すると、その場で計算し直します。赤い棒が、入力したkの確率です。入力した数字は画面の中で計算するだけで、どこにも送信されません。

よくある間違い	正しい考え方
時間を変えてもλはそのまま	λは時間の長さに比例させる（30分なら半分）
平均の回数がいちばん起きやすく、ほぼそうなる	λ＝3でもちょうど3回は22%ほど。前後に広く散らばる
「k回以上」を「ちょうどk回」で計算する	k回以上は 1−（k−1回以下の合計）
分散は標準偏差と同じλ	分散がλ、標準偏差は√λ
数える物なら何でもポアソン	かたまって起きる・時間で発生率が変わるなら当てはまらない