主成分得点｜各サンプルの主成分の値と散布図による可視化

この記事では、主成分分析(PCA)で得られる「主成分得点」について、中学生でもわかるように**身近な例え**と**図解**を使って徹底解説します。

地図の座標のように、同じ場所でも座標系が変われば数値が変わる——主成分得点はまさにそういう概念なんです。

この記事を読めば、主成分得点の意味、計算方法、そして散布図の見方が完璧にマスターできますよ!

主成分得点とは?

主成分得点(Principal Component Score)とは、各サンプルが主成分空間でどこに位置するかを表す座標の値です。

主成分分析(PCA)では、元の変数(例:身長・体重)を組み合わせて新しい軸(主成分)を作ります。

主成分得点は、その新しい軸での各サンプルの座標というわけです。

主成分得点の3つの特徴

主成分得点には、3つの大きな特徴があります。1つずつ見ていきましょう。

特徴1: サンプルごとに異なる値

主成分得点は、各サンプル(データの1行1行)が持つ固有の座標です。

例えば、学生A・B・Cのテスト結果を主成分分析にかけると、それぞれ異なる主成分得点を持ちます。

このように、各サンプルが新しい座標系(主成分空間)でどこに位置するかを表す数値が主成分得点です。

特徴2: 元の変数から計算される

主成分得点は、元の変数の値に「重み」を掛けて足し合わせることで計算されます。

「重み」とは、各変数がどれくらい重要かを表す数値のことです。この重みは、主成分分析(PCA: Principal Component Analysis)という手法で自動的に計算されます。

つまり、主成分得点は元のデータから新しく計算された座標なのです。

特徴3: 主成分の数だけ得点がある

主成分分析では、元の変数の数だけ主成分(新しい軸)を作ることができます。

例えば:

• 元の変数が2つ(数学・英語) → 主成分も最大2つ(PC1, PC2)
• 元の変数が10個(10科目) → 主成分も最大10個(PC1〜PC10)
• 元の変数が100個(100項目のアンケート) → 主成分も最大100個

そして、各サンプルは、主成分の数だけ得点を持ちます。

主成分得点の計算方法

ここからは、具体的な数値例を使って、主成分得点がどうやって計算されるのかを見ていきます。

難しそうに聞こえますが、実際は掛け算と足し算だけなので安心してください!

例題: 3人の学生のテスト結果

以下のようなテストデータがあるとします。

学生	数学	英語
A	80点	70点
B	60点	80点
C	90点	60点

この2つの変数(数学・英語)から、主成分得点を計算してみます。

ステップ1: データの標準化

まず、元のデータを標準化します。これは、変数のスケールを揃えるためです。

標準化後のデータは以下のようになります。

学生	z_数学	z_英語
A	0.26	-0.27
B	-1.07	0.76
C	0.80	-0.49

ステップ2: 主成分ベクトルを取得

次に、主成分ベクトル(固有ベクトル)を取得します。これは別途計算されるもので、今回は以下の値とします。

※主成分ベクトルの求め方は、固有値・固有ベクトルの記事で詳しく解説しています。

ステップ3: 主成分得点を計算

標準化データと主成分ベクトルを掛け合わせて、主成分得点を計算します。

学生Aの例

学生Aの主成分得点を計算してみましょう。

同様に学生B・Cも計算すると、以下の結果になります。

学生	PC1得点	PC2得点
A	-0.01	-0.38
B	-0.22	1.29
C	0.22	-0.91

散布図による可視化

主成分得点が計算できたら、次は散布図(スコアプロット)で可視化します。

横軸にPC1得点、縦軸にPC2得点をとって、各サンプルをプロットします。

基本: 2次元散布図

最もシンプルな可視化方法は、PC1とPC2の2次元散布図です。

• 横軸(X軸): 第1主成分(PC1) = 最も重要な方向
• 縦軸(Y軸): 第2主成分(PC2) = 2番目に重要な方向
• 各点: 各サンプルの位置

この2軸だけで、元の高次元データの**ほとんどの情報**を表現できます。

応用1: グループ別に色分け

サンプルが複数のグループに分かれている場合、グループごとに色を変えてプロットすると、クラスター構造が見えてきます。

• 赤: グループA
• 青: グループB
• 緑: グループC

同じ色の点が固まっていれば、そのグループは共通の特徴を持っていることがわかります。

応用2: サイズで追加情報を表現

点のサイズを変えることで、3つ目の変数の情報も同時に表示できます。

• 小さい点: 値が小さい
• 大きい点: 値が大きい

例えば、売上データのPCAなら、点のサイズで利益率を表すことができます。

応用3: サンプル名を表示

各点にサンプル名やIDを表示すると、個別サンプルの特定が可能になります。

外れ値や興味深いサンプルを見つけるのに便利です。

散布図の読み方

主成分得点の散布図から、データのどんな構造が読み取れるのでしょうか?

読み方1: 近い点 = 似たサンプル

散布図上で近くにある点は、特徴が似ていることを意味します。

例: 学生AとBが近ければ、テストの得点パターンが似ている。

読み方2: 遠い点 = 異なるサンプル

逆に、遠くにある点は、特徴が大きく異なることを示します。

例: 学生AとCが遠ければ、得意科目やバランスが全く違う。

読み方3: クラスター = グループ構造

点が集まってクラスター(塊)を作っている場合、そこには共通の特徴を持つグループが存在します。

例: 「文系タイプ」「理系タイプ」「バランス型」などのグループが見えてくる。

読み方4: 外れ値 = 特異なサンプル

他の点から大きく離れた点は、外れ値(異常値)の可能性があります。

例: 極端に得点が高い/低い、入力ミスなど。

読み方5: 分散の方向 = 主成分軸

点の広がり(分散)が最も大きい方向が第1主成分(PC1)の方向です。

2番目に大きい方向が第2主成分(PC2)になります。

可視化ツール

主成分得点の散布図は、様々なツールで作成できます。

Python

• matplotlib: シンプルな散布図
• seaborn: 美しいスタイルの散布図
• plotly: インタラクティブな3D散布図

R

• ggplot2: 高品質な散布図
• factoextra: PCA専用パッケージ

GUI ツール

• Excel: 基本的な散布図
• Tableau: インタラクティブなダッシュボード
• Orange: ノーコードで可視化

まとめ: 主成分得点を完全マスター!

この記事では、主成分得点について、中学生でもわかるよう徹底解説しました。

主成分得点は、高次元データを低次元で可視化するための強力なツールです。

地図の座標のように、同じデータでも座標系を変えれば見え方が変わる——この概念が理解できれば、PCAの本質がつかめます。

散布図を描いて、データの背後にある構造を発見してみましょう!

最後まで読んでいただき、ありがとうございました!
一緒にデータサイエンスを楽しみましょう! 📊✨