重回帰分析とは何ですか？

複数の説明変数から1つの目的変数を予測する式を求め、要因ごとの影響の大きさを表す分析方法です。

単回帰分析との違いは？

単回帰は説明変数が1つ、重回帰は2つ以上です。重回帰では変数どうしの影響を切り分けられます。

決定係数R²の目安は？

分野や目的で違い、決まった基準はありません。補正R²やP値、残差とあわせて判断します。

Excelで重回帰分析はできる？

できます。分析ツールの「回帰分析」で入力X範囲に複数の列を指定するか、LINEST関数を使います。

多重共線性とは？

説明変数どうしの相関が強く、係数が不安定になる状態です。VIFが10を超えると疑うのが目安です。

重回帰分析とは？意味・やり方・結果の見方を例題で図解｜計算ツール付き

Q: 偏回帰係数とは？

ほかの説明変数を一定にしたまま、その変数を1増やしたときに結果が平均してどれだけ変わるかを表す数です。

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回帰分析の記事は、初心者が読む順に次の記事にまとめています。

重回帰分析とは？複数の要因から結果を予測する

重回帰分析は、「結果は1つ、原因の候補は2つ以上」のときに、それぞれの原因が結果にどれだけ効いているかを1本の式で表す方法です。

そもそも回帰分析とは何か（説明変数と目的変数、相関との違い、y＝ax＋b の意味）があいまいなら、先に相関と回帰分析の基礎｜単回帰・散布図・相関係数で単回帰の土台を確かめると、重回帰の式が「原因が増えただけ」だとわかります。

比べる点	単回帰分析	重回帰分析
説明変数（原因）の数	1つ	2つ以上
式	ŷ ＝ b₀ ＋ b₁x	ŷ ＝ b₀ ＋ b₁x₁ ＋ b₂x₂ ＋ …
図にすると	散布図に引いた直線	（変数が2つなら）空間に置いた平面
例	温度だけで強度を予測	温度と時間で強度を予測

重回帰分析は、単回帰の「最小二乗法」を要因2つ以上に広げたものです。土台になる最小二乗法は次の記事で例題から確かめられます。

偏回帰係数とは？「ほかを固定したとき」の影響の大きさ

偏回帰係数は、ほかの説明変数を同じ値に固定したまま、その説明変数だけを1増やしたときに、結果が平均してどれだけ変わるかを表します。

たとえば強度の式が ŷ ＝ 9.56 ＋ 0.80x₁ ＋ 3.59x₂（x₁：温度℃、x₂：時間分）なら、次のように読みます。

b₁ ＝ 0.80：時間を同じにしたまま温度を1℃上げると、強度は平均して約0.80MPa上がる。
b₂ ＝ 3.59：温度を同じにしたまま時間を1分のばすと、強度は平均して約3.59MPa上がる。
b₀ ＝ 9.56：温度も時間も0のときの値（切片）。データの範囲から外れるので、それ自体に意味がないことが多い。

例題で手計算｜温度と時間から強度を予測する

説明変数が2つなら、平方和と積和を計算して2本の連立方程式（正規方程式）を解けば、偏回帰係数が求まります。5つのサンプルで最後まで計算します。

No.	温度 x₁（℃）	時間 x₂（分）	強度 y（MPa）
1	10	4	32
2	20	2	33
3	30	6	55
4	40	3	52
5	50	5	68

決定係数R²で当てはまりを確かめる｜計算ツールつき

決定係数R²は、結果のばらつきのうち、式で説明できた割合です。0〜1の値で、1に近いほど式がデータによく当てはまっています。

例題では、yの平方和 S_yy ＝ 256＋225＋49＋16＋400 ＝ 946、式で説明できる平方和 S_R ＝ b₁S₁y ＋ b₂S₂y ＝ 0.802 × 910 ＋ 3.593 × 60 ≒ 945.6。R² ＝ 945.6 ÷ 946 ≒ 0.9996。小さく作った例なので、ほぼ完ぺきに当てはまっています。実際のデータでは、もっと低い値になるのがふつうです。

説明変数を増やすと、R²は役に立たない変数でも少しずつ上がってしまいます。そのため、変数の数で補正した自由度調整済み決定係数（R*²）もあわせて見ます。

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重回帰分析の計算ツール（説明変数2つ）

1行に「x₁ x₂ y」の順で数字を入れてください（空白・カンマ・タブ区切り。Excelから3列をそのまま貼り付けられます）。

はじめから入っている数字は、上の例題です。b₁≒0.802、b₂≒3.593、R²≒0.9996と出れば、手計算と同じです。入力した数字は画面の中で計算するだけで、どこにも送信されません。

Excelで重回帰分析をするやり方と、結果の見方

Excelでは、分析ツールの「回帰分析」で、説明変数の列をまとめて指定すれば重回帰分析ができます。

出力の項目	意味	見方
重決定 R2	決定係数	1に近いほど当てはまりがよい
補正 R2	自由度調整済み決定係数	変数の数がちがうモデルを比べるときに使う
有意F	式全体が意味をもつかのP値	0.05より小さければ、式全体として意味がある
係数	切片と偏回帰係数	重回帰式の数字
P-値	その変数の係数が0かどうかの検定	0.05より小さければ、その変数は効いていると判断する

関数だけで求めたいときは、=LINEST(yの範囲, xの範囲, TRUE, TRUE) を使います。結果は偏回帰係数が「最後の変数から逆の順」で並ぶので注意してください。

重回帰分析の注意点｜多重共線性・相関と因果・外挿

重回帰分析は便利ですが、説明変数どうしの連動、相関と因果の取り違え、データ範囲の外での予測の3つで失敗しやすくなります。

注意点	何が起きるか	どうするか
多重共線性	説明変数どうしの相関が強いと、係数が不安定になり、符号が逆になることもある	VIF（目安10、きびしくは5）を確かめ、似た変数はどちらかを外す
相関と因果の取り違え	係数が大きくても、その変数が原因とは限らない	技術的な理由で説明できるか確かめ、必要なら実験で確かめる
外挿	集めたデータの範囲の外では、式が当てはまる保証がない	予測はデータの範囲の中で行う
データが少ない	変数の数に対してデータが少ないと、偶然に合わせた式になる	説明変数の数の10倍程度のデータを目安に集める

知っておくと便利な2つの工夫

標準化偏回帰係数：すべての変数を平均0・標準偏差1にそろえてから求めた係数。単位に左右されないので、どの要因の影響が強いかを比べられる。この例題では温度が約0.82、時間が約0.37で、係数そのもの（0.80と3.59）とは逆に、温度のほうが強く効いているとわかる。
ダミー変数：「設備A／設備B」のような種類のデータは、0と1の数字に置きかえて説明変数に入れられる。

重回帰分析の進め方7ステップと、QC検定での出題

重回帰分析は、式を出して終わりではなく、全体の有意性・各変数の効き方・残差の確認まで行って完成です。

QC検定では、重回帰分析は主に1級（準1級）の範囲で、2級は単回帰分析が中心です（最新のレベル表で確かめてください）。1級では、分散分析表の穴埋め、F検定による式の有意性、偏回帰係数のt検定や区間推定が問われます。与えられた平方和や積和から計算する問題が多いので、例題の正規方程式の流れを一度手で追っておくと解きやすくなります。

重回帰分析でよくある間違い

よくある間違い	正しい考え方
係数の大きい変数ほど、強く効いている	単位で大きさが変わる。比べるなら標準化偏回帰係数
R²が高ければ、良い式だ	変数を増やせばR²は上がる。補正R²・P値・残差もあわせて見る
単回帰の係数と、重回帰の係数は同じになる	ほかの変数の影響を除くので、ふつうは値が変わる（同じになるのは説明変数どうしが無相関のとき）
係数の符号が予想と逆でも、そのまま使う	多重共線性のサインのことが多い。VIFと変数の組み合わせを見直す
式があれば、どんな条件でも予測できる	データの範囲の外（外挿）は保証されない