同期発電機の等価回路とベクトル図｜無負荷誘導起電力E₀の求め方

• 「同期インピーダンス」「無負荷誘導起電力」──漢字だらけで読む気が失せる
• ベクトル図を見た瞬間「矢印が何本も出ていて意味不明」と投げ出した
• 過去問で「E₀を求めよ」と出たが、等価回路からどう立式すればいいかわからない

• 同期発電機の等価回路が「電池＋抵抗」と同じだと腹落ちする
• ベクトル図の描き方を5ステップで完全マスター
• V と E₀ の位置関係を「腕の角度」のたとえで直感的に理解
• 実際の数値を入れた計算例で手を動かして定着

試験で使う等価回路の式は、r_a を無視した場合、たった1本です。

（ベクトル式。大きさだけでなく「向き」も含む）

あなたが右腕をまっすぐ前に伸ばしている（= 端子電圧 V）とします。

ここで左腕を使って「V にjX_sI を足す」のですが、左腕はVと同じ方向には伸ばせません。交流の電圧降下 jX_sI には「90°ずれる」という性質があるので、左腕は右腕から角度をつけて伸ばす必要があります。

そして、右肩から左手の指先までの距離が E₀ です。

V と jX_sI は角度がついているから、E₀ は単純な足し算ではなくベクトルの合成（三角形の斜辺）で求める必要がある。これがベクトル図を描く理由です。

「j って何？虚数？複素数？」と難しく考える必要はありません。ベクトル図を描くときの j の意味は「矢印を反時計回りに90°回す」、これだけです。

⚡ 同期発電機のベクトル図（遅れ力率 cosφ）

r_a 無視（X_s のみ考慮）

三相同期発電機（1相分の等価回路で考える）。端子電圧 V = 200 V、電機子電流 I = 50 A、同期リアクタンス X_s = 4 Ω、力率 cosφ = 0.8（遅れ）。電機子抵抗は無視する。無負荷誘導起電力 E₀ [V] を求めよ。

sinφ を求める

cosφ = 0.8 → sinφ = 0.6（三平方の定理：sin²φ + cos²φ = 1）

X_sI の大きさを求める

X_sI = 4 × 50 = 200 V

ベクトル図から E₀ の大きさを求める公式に代入

ベクトル図の三角形から、以下の公式が得られます（導出は図を見ると直感的にわかります）。

r_a = 0 の遅れ力率の場合の公式は：

数値を代入して計算

横方向：Vcosφ = 200 × 0.8 = 160 V

縦方向：Vsinφ + X_sI = 200 × 0.6 + 200 = 120 + 200 = 320 V

E₀ = √(160² + 320²) = √(25,600 + 102,400) = √128,000

• 同期発電機の等価回路は「電池（E₀）＋ 交流専用の抵抗（jX_s）」。中学理科の回路と本質は同じ。
• 交流では「向き」があるため、ベクトル（矢印）で足し算する必要がある → ベクトル図。
• ベクトル図の描き方は5ステップ：V水平 → Iをφ遅れ → jX_sI（Iから90°）→ V先端に足す → 原点→終点 = E₀。
• j の意味は「90°反時計回りに回す」。これだけ。
• E₀ の計算は三平方の定理：E₀ = √(横成分² + 縦成分²)。
• 遅れ力率 → E₀ が大きくなる。進み力率 → E₀ は小さくなる。

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