【完全図解】管理限界線の導出原理｜全管理図を「E±3D」の1公式で理解する

管理図の勉強をしていると、R管理図にはD₃・D₄、X̄管理図にはA₂、Me-R管理図にはÃ₂…と、管理図ごとに異なる係数が次々と登場しますよね。

「こんなの全部覚えられない！」と思った方、安心してください。実は、これらの係数はすべて同じ1つの原理から生まれています。

その原理を理解すれば、どんな管理図の管理限界線でも自分で導出できるようになります。この記事では、その統一的な考え方を、比喩と図解を使って丁寧に解説していきます。

すべての管理図に共通する「たった1つのルール」

管理図の3本線をおさらい

まず、管理図の基本構造を確認しましょう。管理図には3本の水平線があります。

線の名前	略称	役割
中心線	CL	プロットする統計量の「平均的な値」（期待値）
上側管理限界線	UCL	CLから「標準偏差の3倍」だけ上に離れた位置
下側管理限界線	LCL	CLから「標準偏差の3倍」だけ下に離れた位置

たとえば、あなたが毎朝体温を測って記録しているとします。中心線（CL）は「普段の平熱（例：36.5℃）」、管理限界線は「ここを超えたら異常と判断するライン」に相当します。平熱から大きく外れたら「風邪かも？」と気づけますよね。管理図はまさにこれと同じ発想です。

📐 統一公式：「E ± 3D」

管理図にプロットする統計量を「T」と呼ぶことにしましょう。R管理図ならT = R（範囲）、X̄管理図ならT = X̄（平均値）です。このとき、どんな管理図でも以下の公式が成り立ちます。

「3倍」という数字は「3σ法」と呼ばれ、正規分布において中心から±3σの範囲にデータの99.73%が収まることに由来します。つまり、管理限界線を超える確率はわずか0.27%（約1000回に3回）です。この「めったに起きないことが起きた＝工程に異常がある」というロジックが管理図の判定原理です。

【準備知識】範囲Rの統計的性質とσの推定

範囲Rの「平均的な大きさ」と「バラつき」

管理図の導出に入る前に、もう1つだけ準備があります。それは範囲Rの統計的な性質です。

正規分布N(μ, σ²)から大きさnの標本を取り出したとき、範囲R（＝最大値 − 最小値）の期待値と標準偏差は、次のように表されます。

直感的に言うと、d₂は「Rは平均してσの何倍くらいの大きさになるか」を示す係数、d₃は「Rのバラつき自体がσの何倍くらいか」を示す係数です。

たとえば、5人グループ（n=5）でテストを受けたとき、最高点と最低点の差（＝範囲R）は、バラつきσに対して平均的にd₂倍の大きさになります。グループの人数（n）が変われば、当然この倍率も変わります。以下にd₂、d₃の代表的な値を示します。

群の大きさ n	d₂	d₃
2	1.128	0.853
3	1.693	0.888
4	2.059	0.880
5	2.326	0.864
6	2.534	0.848

σの推定方法：なぜR̄/d₂を使うのか？

管理限界線を引くにはσ（母標準偏差）が必要です。しかし実務ではσの真の値はわかりません。そこで、手持ちのデータから推定する必要があります。

ここで活躍するのが、先ほどの E[R] = d₂σ という式です。この式の両辺をd₂で割ると、次のようになります。

考え方はシンプルです。E[R] = d₂σ は「範囲の平均はσのd₂倍になる」という意味ですから、逆にR̄をd₂で割ればσの推定値が得られるわけです。

同様に、μ（母平均）の推定値には、すべてのデータの総平均 X̿（X̄の平均）を使います。

R管理図の管理限界線を導出する

まずは一番わかりやすいR管理図（範囲の管理図）から始めましょう。R管理図にプロットする統計量は「各群の範囲R」です。

ステップ1：理論式を立てる（σが既知の場合）

統一公式「E ± 3D」に、Rの統計的性質（E[R]=d₂σ、D[R]=d₃σ）を代入します。

ここまでは「σがわかっている」という前提です。しかし、実際にはσの真の値はわかりません。そこで次のステップで、σを推定値に置き換えます。

ステップ2：実用式に変換する（σ̂ = R̄/d₂ で置き換え）

理論式のσを、推定値 σ̂ = R̄/d₂ で置き換えます。

つまり、R管理図の中心線はR̄（範囲の平均）そのもので、管理限界線はR̄に(1 ± 3d₃/d₂)という係数をかけた値になります。

💡 JIS係数D₃・D₄の正体

JISの管理図係数表に載っているD₃とD₄は、実はここで導出した係数そのものです。

たとえばn=5の場合、d₂=2.326、d₃=0.864なので、D₄ = 1 + 3×0.864/2.326 = 1 + 1.114 ≒ 2.114 となります。JIS係数表のD₄の値と一致していますね。

X̄管理図の管理限界線を導出する

次はX̄管理図（平均値の管理図）です。X̄管理図にプロットする統計量は「各群の平均値X̄」です。ここでも「E ± 3D」の統一公式に当てはめるだけです。

標本平均X̄の期待値と標準偏差

正規分布N(μ, σ²)から大きさnの標本を取り出したとき、その平均値X̄は次の性質を持ちます。

「平均値のバラつきは、元のデータのバラつきの1/√n倍になる」というのは統計学の最重要公式の1つです。データを多く集めれば（nが大きければ）、平均値はどんどん安定していきます。

イメージとしては、1人の体温は日によって結構変わりますが、「クラス30人の平均体温」は日によってそれほど変わらないですよね。人数（n）が増えるほど、平均は安定する。それを数式で表したのがD[X̄] = σ/√nです。

ステップ1：理論式を立てる

統一公式にX̄の性質を代入します。

ステップ2：実用式に変換する

μの推定値としてX̿（各群のX̄の平均＝総平均）を、σの推定値としてR̄/d₂を使って置き換えます。

💡 JIS係数A₂の正体

JISの管理図係数表に載っているA₂は、いま導出した係数そのものです。

A₂は「3」「d₂」「√n」という3つのパーツから構成されています。「3」は3σ法から、「d₂」はσの推定から、「√n」は標準誤差から来ています。すべてに理由があるのです。

Me-R管理図の管理限界線を導出する

最後にMe-R管理図（メディアン管理図）を導出します。Me-R管理図にプロットする統計量は「各群のメディアン（中央値）X̃」です。X̄（平均値）の代わりにメディアンを使うパターンですね。

メディアンX̃の期待値と標準偏差

正規分布N(μ, σ²)から大きさnの標本を取り出したとき、メディアンX̃の性質は次の通りです。

X̄管理図と比べてみましょう。X̄の標準偏差はσ/√nでした。メディアンの標準偏差はm₃ × σ/√n です。つまり、m₃倍だけ「バラつきが大きい」ということです。

なぜメディアンの方がバラつくのでしょうか？直感的に説明すると、平均値はすべてのデータの情報を使って計算しますが、メディアンは「真ん中の1つ（または2つ）」しか見ません。情報を捨てている分、推定精度が下がり、バラつきが大きくなるのです。

Me管理図の管理限界線

同じ「E±3D」の手順で、理論式を立てて実用式に変換します。

実用式への変換も同じで、μ→X̿（またはメディアンの平均）、σ→R̄/d₂ で置き換えればOKです。管理限界線の係数は 3m₃/(d₂√n) となり、JISではこれをÃ₂と呼びます。

🔑 X̄管理図 vs Me管理図：管理限界の幅を比較する

ここで大事な疑問が生まれます。「X̄管理図とMe管理図、どちらの管理限界の幅が広いのか？」です。

管理限界の幅（UCL − LCL）を比較してみましょう。σの推定に同じR̄/d₂を使う場合、幅を決めるのは「D[T]」の大きさだけです。

管理図	統計量Tの標準偏差 D[T]	管理限界の幅（UCL−LCL）
X̄管理図	σ / √n	6σ̂ / √n
Me管理図	m₃σ / √n	6m₃σ̂ / √n

n ≥ 3 のとき m₃ > 1 なので、Me管理図の方が幅が広くなります。つまり、

これはつまり、Me管理図はX̄管理図よりも「異常を見逃しやすい」ということを意味します。管理限界の幅が広い＝データが限界を超えにくい＝異常の検出力が低い、ということですね。

ではなぜMe管理図を使うことがあるのでしょうか？それは「メディアンは平均よりも計算が簡単」だからです。現場でデータを1つ1つ足し算して割り算する必要がなく、真ん中の値を丸で囲むだけで済みます。検出力と引き換えに、手軽さを取るわけです。

全管理図の導出を一覧表で整理

ここまでの内容を1つの表にまとめます。すべての管理図が「E ± 3D」の1公式から導出されていることを確認してください。

まとめ：丸暗記から「導出できる」へ

この記事で解説した内容をまとめます。

管理図の公式は、丸暗記しようとすると種類が多くて大変です。でも「E±3D」という1つの原理さえ理解すれば、どんな管理図でも自力で公式を導けるようになります。QC検定の試験本番で公式を忘れても、この導出手順を知っていれば怖くありません。