【完全図解】母比率の検定（Z検定）とは？｜「不良率5%→3%は改善？」を二項分布から導く検定統計量の意味

こんにちは、シラスです。

前回までは「長さ」や「重さ」といった「計量値（平均値）」の検定を学んできました。今回は、製造現場やマーケティングで頻出する「比率（％）」のデータを検定する方法を解説します。

• 🏭 「不良率が 5% から 3% に減った！」
• 📺 「内閣支持率が 40% を切った！」
• 🖱 「Webサイトのクリック率が 1% 上がった！」

これらはすべて「計数値（比率）」のデータです。「たった2%の違いでしょ？誤差じゃないの？」と突っ込まれたとき、自信を持って「いいえ、統計的に有意な改善です！」と答えるための武器。それが今回紹介する「母比率の検定（大標本Z検定）」です。

この記事では、単に公式を暗記するのではなく、「なぜこの式になるのか？」を二項分布から丁寧に導出していきます。理解すれば、公式を忘れても自分で導けるようになりますよ。

1. 計量値と計数値の違い｜「比率」は特別なデータ

まず、検定で扱うデータには大きく2種類あることを確認しましょう。

種類	説明	例	検定方法
計量値	連続的に測れる	長さ、重さ、温度	t検定、Z検定（平均）
計数値	数えられる（離散的）	不良品数、合格者数	Z検定（比率）、カイ二乗検定

計量値は「12.5cm」「68.3kg」のように小数点以下まで測れますが、計数値は「合格 or 不合格」「良品 or 不良品」のように0か1かの2択です。この「2択のデータ」を集計したものが「比率」なのです。

比率データの正体は「0と1の平均」

ここが重要なポイントです。「比率」とは何でしょうか？

たとえば、10個の製品を検査して、3個が不良品だったとします。

• 良品 → 0
• 不良品 → 1

と数値化すると、データは「0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1」となります。この平均値は？

そう、比率 = 0と1の平均値なのです。だから「平均値の検定」と「比率の検定」は本質的に同じ構造になります。

2. 二項分布から正規分布へ｜なぜZ検定が使えるのか？

「0か1か」の2択データは、本来二項分布という確率分布に従います。ここを理解することが、母比率の検定の本質を掴む鍵です。

二項分布とは？

二項分布は、「成功確率 P の試行を n 回繰り返したとき、成功回数 X がいくつになるか？」を表す確率分布です。

• コインを10回投げて、表が出る回数
• 200個の製品を検査して、不良品が出る個数
• 100人に調査して、賛成と答える人数

これらはすべて二項分布に従います。二項分布の特徴は、「階段状のカクカクした形」をしていることです。なぜなら、不良品の数は「0個、1個、2個...」と整数でしか取らないからです。

n が大きくなると「正規分布」に近づく

ここで「中心極限定理」の魔法が登場します。データ数 n が十分に大きいと、二項分布の階段がどんどん滑らかになり、正規分布とほぼ同じ形になるのです。

サンプル数 n	分布の形	使える検定
n = 10	カクカク階段状	二項検定（厳密解）
n = 50	やや滑らか	正規近似が使い始められる
n = 200	ほぼ正規分布	Z検定でOK！

なぜこの条件が必要なのでしょうか？たとえば P = 0.01（1%）で n = 100 の場合、nP = 1 となり、ほとんどの場合「0個」か「1個」しか発生しません。このような偏ったデータでは、正規分布のような左右対称の釣り鐘型にはならないのです。

3. 検定統計量の導出｜なぜこの式になるのか？

いよいよ本題です。母比率の検定統計量 Z を、二項分布からステップバイステップで導出していきます。

Step 1：「個数 X」から「比率 p」へ変換

まず、検査で見つかった不良品の「個数」X を「比率」p に変換します。

X は二項分布 B(n, P) に従うので、p = X/n の期待値と分散は次のようになります：

比率 p の期待値

比率の期待値は、真の母比率 P そのものです。これは直感的にも納得できますね。

比率 p の分散

分散は少し複雑です。「定数倍したときの分散」のルールを使います。

p = X/n = (1/n) × X なので、a = 1/n として：

Step 2：標準化してZ値を作る

正規分布に従うデータを「標準正規分布（平均0、分散1）」に変換することを標準化といいます。標準化の公式は：

比率 p を標準化すると：

• データ：p（標本比率、実測値）
• 平均：P₀（帰無仮説で想定する母比率）
• 標準偏差：√{P₀(1-P₀) / n}

公式の意味を言葉で理解する

この公式を言葉で表すと：

部分	意味	例
分子（p − P₀）	実測値と基準値の「ズレ」	3% − 5% = −2%
分母（標準誤差）	「偶然でどれくらいズレうるか」	約1.54%
Z値	「偶然のバラつき何個分ズレたか」	約−1.30個分

つまり Z値 は「観測されたズレが、偶然の範囲内かどうか」を測る物差しです。|Z| が大きければ「偶然では説明できないほどズレている」＝有意差あり、と判断できます。

4. 実践｜不良率低減プロジェクトの検定

公式の意味がわかったところで、具体的な計算をしてみましょう。

Step 1：仮説を立てる

• 帰無仮説 H₀：P = 0.05（不良率は5%のまま、改善されていない）
• 対立仮説 H₁：P < 0.05（不良率は5%より低くなった＝改善された）

「減ったかどうか」を検証したいので、片側検定（左側）を使います。

Step 2：正規近似の条件を確認

Z検定を使うには、正規近似の条件 nP > 5 かつ n(1-P) > 5 を満たす必要があります。

• nP₀ = 200 × 0.05 = 10　→　5以上 ✅
• n(1-P₀) = 200 × 0.95 = 190　→　5以上 ✅

両方とも5を超えているので、正規近似OKです。Z検定が使えます！

Step 3：Z値を計算する

公式に数値を代入します。

まず分母（標準誤差）を計算

次にZ値を計算

Z ≈ −1.30

Step 4：判定する（臨界値との比較）

今回は片側検定（左側）なので、有意水準5%の臨界値は −1.645 です。

検定の種類	有意水準 5%	有意水準 1%
両側検定	±1.96	±2.58
片側検定	±1.645	±2.33

計算した Z = −1.30 を臨界値 −1.645 と比較します。

• 計算値：Z = −1.30
• 臨界値：−1.645

Z = −1.30 は臨界値 −1.645 より右側（0に近い側）にあります。つまり、棄却域に入っていません。

Step 5：結論を述べる

これが統計学の厳しい（でも公正な）ジャッジです。2%の差は、200個程度のサンプルでは「偶然の範囲内」として片付けられてしまうのです。

もし「有意」にしたいなら？

同じ3%の不良率でも、サンプル数を増やせば有意差が出る可能性があります。たとえば n = 500 なら：

• 標準誤差 = √{0.05 × 0.95 / 500} ≈ 0.00975
• Z = (0.03 − 0.05) / 0.00975 ≈ −2.05

|Z| = 2.05 > 1.645 なので、n = 500 なら有意差ありと判定できます！

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